TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Expressies en variabelen

Wiskundige uitdrukkingen of expressies zijn doorgaans samengesteld uit eenvoudige, elementaire expressies zoals getallen, variabelen en functies. Op de elementaire expressies worden allerlei bewerkingen losgelaten, zoals optellen, vermenigvuldigen, differentiëren, integreren of inverteren. In de loop der tijd hebben wiskundigen een enorme hoeveelheid bewerkingen bedacht, allemaal met hun eigen specifieke kenmerken. Op deze pagina bestuderen we een eenvoudig soort expressie: de algebraïsche expressie.

Definitie

Een algebraïsche expressie bestaat uit symbolen en getallen, waarop rekenkundige bewerkingen zijn toegepast. De rekenkundige bewerkingen zijn: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen.

De symbolen in expressies zijn vaak enkele letters, maar woorden zijn ook toegestaan. De rol van dergelijke symbolen hangt af van de context. Een symbool kan een constante zijn, of (in een vergelijking) een onbekende. Welke rol het symbool ook speelt, we noemen alle symbolen vanaf nu variabelen.

Een variabele hoeft geen waarde te hebben. Toch rekenen we er mee alsof ze dat wel hebben. Een variabele bezit dezelfde rekenkundige eigenschappen als getallen.

Een eenvoudige, maar belangrijke bewerking die je kunt uitvoeren is substitutie. Substitueren betekent letterlijk 'vervangen'. Je vervangt een variabele door een getal, een andere variabele of een andere expressie. Het omgekeerde komt ook voor: een deel van de expressie vervang je door één variabele, vaak met als doel om de expressie eenvoudiger te maken.

Voorbeeld

Bereken de expressie 3a^2-a(a-1) als a=2.

De expressie bevat slechts één variabele, namelijk a. Door alle letters a door 2 te vervangen, ontstaat een expressie die alleen getallen bevat.

3a^2-a(a-1)=3\cdot2^2-2(2-1)=3\cdot4-2\cdot1=12-2=10.

Voorbeeld

Stel x=y. Bereken de expressie x^2+xy+y^2.

Vervang x door y. In dit geval is het resultaat geen getal. Toch kun je de expressie na substitutie vereenvoudigen:

x^2+xy+y^2=x^2+x\cdot x+x^2=3x^2.

Voorbeeld

Bepaal de oplossingen van de vergelijking x^4-5x^2+4=0.

Het oplossen van een vierdegraads vergelijking is in het algemeen een lastig karwei. In dit geval kun je de oplossingen vinden door gebruik te maken van een slimme substitutie. Schrijf de vergelijking als volgt:

(x^2)^2-5x^2+4=0
Gebruik de substitutie x^2=u. Je krijgt dan de vergelijking
u^2-5u+4=0
Dit is een kwadratische vergelijking in u. Die kun je oplossen, bijvoorbeeld met de abc-formule. De oplossingen zijn u=1 en u=4. We zijn niet geïnteresseerd in u maar in x. Substitueer daarom u=x^2 in de oplossingen. Je krijgt dan twee vergelijkingen: x^2=1 en x^2=4. Beide vergelijkingen hebben twee oplossingen, namelijk x=1 en x=-1, respectievelijk x=2 en x=-2.