TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Prioriteitsregels

Bij het berekenen van een expressie speelt de volgorde waarin je dat doet een belangrijke rol. Als je de verkeerde volgorde hanteert levert dit meestal een ander (en dus fout) resultaat. De volgorde waarin je de berekeningen moet doen worden bepaald door haakjes en door de zogenaamde prioriteitsregels.

Haakjes vormen een belangrijk sturend element tijdens het uitrekenen. De haakjesstructuur van een expressie zie je het best als je alles wat geen haakje is weglaat. In een correcte formule zijn haakjes genest. Dit betekent dat haakjes alleen in paren voorkomen: bij ieder haakje-openen "(" hoort een haakje-sluiten ")" rechts daarvan. Bij het berekenen van de expressie werk je van binnen naar buiten. Dat wil zeggen dat je eerst de deelexpressie in het binnenste hakenpaar uitrekent, enzovoort.

Voor algebraïsche expressies zonder haakjes gelden de volgende prioriteitsregels:

  1. Eerst voer je de machtsverheffingen uit.
  2. Daarna ga je vermenigvuldigen en delen. Dit doe je van links naar rechts.
  3. Tenslotte ga je optellen en aftrekken. Ook dit doe je van links naar rechts.

Volgens deze regels heeft vermenigvuldigen een hogere prioriteit dan optellen. Optellen en aftrekken hebben dezelfde prioriteit.

De prioriteitsregels kun je benadrukken door expliciet haakjes te zetten, dus (a\cdot b)+c in plaats van a\cdot b+c. Hoewel het niet fout is, is het gebruikelijk om overbodige haakjes zo veel mogelijk weg te laten. Te veel haakjes maken een expressie slecht leesbaar.

Voorbeeld

In de expressie 3-2+1 hebben optellen en aftrekken dezelfde prioriteit, dus moet je van links naar rechts werken: (3-2)+1=2 en niet 3-(2+1)\neq2.

Voorbeeld

De afspraak is dat je de expressie 1+2+3 van links naar rechts moet rekenen, dus 1+2+3=(1+2)+3=3+3=6. Het kan echter geen kwaad om het anders te doen. Ook 1+(2+3) levert als uitkomst 6. Er geldt dat (a+b)+c=a+(b+c) voor alle getallen a, b en c. Dit is een eigenschap van optellen. We zeggen dat optellen associatief is.

Bij een expressie waarin slechts één associatieve bewerking voorkomt, kun je zonder problemen de haakjes weglaten. Je hoeft niet van links naar rechts te werken, je mag de volgorde waarin je de bewerking doet zelf kiezen. De expressie 2+3+3+3+3 mag je dus lezen als 2+(3+3+3+3)=2+4\cdot3=2+12=14.

Voorbeeld

Vermenigvuldigen is net als optellen associatief. Aftrekken, delen en machtsverheffen zijn niet associatief.

Voorbeeld

In expressies kom je vaak mintekens tegen met alleen een getal aan de rechterkant. Zo'n minteken maakt van een getal de tegengestelde. Deze min is een zogenaamde unaire operator, dat wil zeggen dat het teken betrekking heeft op één getal, zoals in -3. Dit in tegenstelling tot de ``binaire min'', die je gebruikt om getallen van elkaar af te trekken, zoals in 5-2. De unaire min heeft voorrang op optellen en aftrekken, maar niet op vermenigvuldigen, delen of machtsverheffen. Dus

-8-5=(-8)-5=-13
en niet
-8-5=-(8-5)=-3.
Let goed op. In de uitdrukking 2\times-1 kan de min niet binair zijn: (2\times)-1 heeft geen betekenis. Er moet dus wel 2\times(-1) staan.

Voorbeeld

De unaire plus bestaat ook, bijvoorbeeld in de expressie +2. Dit plusteken heeft geen effect op de expressie die er op volgt, en kun je dus gewoon weglaten. Ze worden vaak gebruikt om te benadrukken dat een getal positief is, bijvoorbeeld in zinnen als ``\ldots heeft oplossingen x=+\sqrt{2} en x=-\sqrt{2}''.

Voorbeeld

De praktijk is vaak weerbarstiger dan de theorie. De uitdrukking 3a/2b wordt doorgaans geïnterpreteerd als: "3a gedeeld door 2b". Volgens de regels moet je van links naar rechts werken, dus: 3a/2b=((3\cdot a)/2)\cdot b=\frac{3}{2}ab. Dit soort verwarring kun je voorkomen door de expressie te schrijven als breuk:

\frac{3a}{2b}.

Computers en rekenmachines straffen je genadeloos af als je de prioriteitsregels overtreedt. Omdat je geen breuken kunt invoeren op een toetsenbord ben je genoodzaakt om haakjes te gebruiken: (3a)/(2b). Merk op dat het eerste paar haakjes overbodig is.

Voorbeeld

Soms zie je geen haakjes, maar zijn ze er wel. Beschouw de expressie x^{ab}. Omdat zowel a als b in de exponent staan wordt hier dus bedoeld "x tot de macht a\times b".

Eigenlijk staat hier x\hat{\:\;}(a\cdot b), waarbij met het dakje "\hat{\:\;}" de machtsverheffing wordt aangegeven. Als je de haakjes zou weglaten zou er staan: x\hat{\:\;}a\cdot b. Volgens de prioriteitsregels zou je de machtsverheffing eerst moeten doen, dus x\hat{\:\;}a\cdot b=(x\hat{\:\;}a)\cdot b=x^a\cdot b, en dat is niet hetzelfde als x^{ab}.