TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Rekenregels

We zagen dat optellen associatief is. Omdat deze eigenschap geldt voor alle getallen kun je hem als formule opschrijven:

(a+b)+c=a+(b+c)
Deze eigenschap komt neer op een gelijkheid van expressies. Een dergelijke gelijkheid noemen we een rekenregel. Je kunt rekenregels gebruiken om expressies te herleiden, bijvoorbeeld door middel van substitutie.

In de algebra kennen we een heleboel rekenregels. De meeste rekenregels, zoals de asociativiteit van optellen, zijn algemeen bekend.

Rekenregels leer je op de basisschool. Toch heb je nooit een bewijs gezien dat de rekenregels waar zijn. Dat blijkt nog niet zo eenvoudig te zijn. Op deze pagina vermelden we de meest gangbare rekenregels, zonder bewijs.

rekenegel naam restricties
1 (a+b)+c=a+(b+c) associatief
2 a+b=b+a commutatief
3 a+0=a
4 a+(-a)=0
5 a-b=a+(-b)
6 -(-a)=a
7 (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c) associatief
9 a\cdot b=b\cdot a commutatief
9 a\cdot1=a
10 a\cdot0=0
11 a\cdot\displaystyle\frac{1}{a}=1 a\neq0
12 -a=(-1)a
13 a(b+c)=ab+ac distributief
14 \displaystyle\frac{a}{1}=a
15 \displaystyle\frac{1}{1/a}=a a\neq0
16 \displaystyle\frac{a}{b}\times\displaystyle\frac{c}{d}=\displaystyle\frac{ac}{bd} b\neq0 en d\neq0
17 \displaystyle\frac{a}{c}+\displaystyle\frac{b}{c}=\displaystyle\frac{a+b}{c} c\neq0

De lijst van regels is niet compleet. Zo ontbreekt bijvoorbeeld de regel 0+a=a, maar met behulp van regels 2 en 3 kun je hem gemakkelijk afleiden. Het is ook niet zo dat er geen overlap is. Zo kun je regel 11 afleiden uit regels 1, 4, 9, 10 en 13.

Voorbeeld

Aftrekken en delen zijn niet commutatief. Er geldt 1-2\neq2-1 en 1/2\neq2/1. Er zijn veel meer van dergelijke gevallen te verzinnen, maar het volstaat om één tegenvoorbeeld te geven.

Voorbeeld

Een voorbeeld van een afgeleide regel is a(b-c)=ab-ac. Een mogelijke afleiding is

a(b-c) = a(b+(-c)) = ab+a(-c) = ab+(-c)a = ab+((-1)c)a = ab+(-1)(ca) = ab+(-1)(ac) = ab+(-(ac)) = ab-ac.
Zie je welke regels er zijn gebruikt?