TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Herleiden en vereenvoudigen

Door het gebruik van rekenregels is het mogelijk expressies te herschrijven naar andere expressies. Dit procedé heet herleiden of afleiden. Hier zie je een voorbeeld:

a^2b^2= a\cdot a\cdot b\cdot b= a\cdot b\cdot a\cdot b= (ab)^2.
Hier is gebruik gemaakt van het feit dat vermenigvuldigen associatief en de commutatief is. De commutativiteit is gebruikt bij het verwisselen van de binnenste twee factoren a en b. De associativiteit zorgt er voor dat je je niet hoeft te bekommeren om haakjes. In feite zou je iedere stap waarbij je de associativiteit gebruikt apart meten beschrijven, maar dit zou de afleiding nodeloos lang en ingewikkeld maken.

Eén van de redenen waarom je een expressie wilt herleiden, is om deze te vereenvoudigen. Wanneer je een expressie eenvoudig noemt is een kwestie van smaak. Het is duidelijk dat 6x eenvoudiger is dan x+x+x+x+x+x. Maar is (a+1)b eenvoudiger dan ab+b?

Toch zijn er wel enkele regels die je op weg helpen. Een aantal ben je al tegengekomen bij het rekenen met getallen. Zo is het gebruikelijk om een breuk te vereenvoudigen, en om wortels in standaarvorm te schrijven. Iets dergelijks heb je ook bij algebraïsche expressie. De expressie

\sqrt{\frac{2}{a}}
herleidt men vaak tot
\frac{1}{a}\sqrt{2a}
ondanks het feit dat je dit misschien niet `eenvoudiger' vindt.

De noodzaak om te herleiden wordt soms ingegeven door het doel dat je je stelt. Als je op zoek bent naar nulpunten kun je beter kijken naar (x-2)^4 dan naar x^4 - 8 x^3 + 24 x^2 - 32 x + 16. Het gaat het er dan niet om of een expressie eenvoudig of ingewikkeld is, maar of je er iets aan kan aflezen.

Voorbeeld

Breuken met expressies kun je, net als breuken met getallen, vereenvoudigen en gelijknamig maken:

\frac{a^2b^2c}{ab^3}= \frac{a\cdot ab^2c}{ab^2\cdot b}= \frac{\not\! a\cdot a\not\!b^2c}{\not\!a\not\!b^2\cdot b}= \frac{ac}{b}.
Hier zie je een voorbeeld van gelijknamig maken:
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y}{xy}+\frac{x}{xy}=\frac{y+x}{xy}=\frac{x+y}{xy}. .

Voorbeeld

Breuksplitsen is een voorbeeld waarbij een simpele expressie wordt herleid tot een meer complexe uitdrukking:

\frac{1}{x-x^2}= \frac{1}{x(1-x)}= \frac{x+1-x}{x(1-x)}= \frac{x}{x(1-x)}+\frac{1-x}{x(1-x)}= \frac{1}{1-x}+\frac{1}{x}.
Een breuk met een tweedegraads noemer is gesplitst als som van twee breuken met eerstegraads noemers. Kenmerkend voor dit soort afleidingen is dat je ze makkelijker van rechts naar links kunt lezen dan van links naar rechts. Het is dan ook niet eenvoudig om dergelijke afleidingen zelf te vinden.