TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Nogmaals haakjes wegwerken

Bij uitdrukkingen als (a+b)(c+d) werk je de haakjes weg door de distributieve regel herhaald toe te passen:

(a+b)(c+d)=(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd.
Het resultaat is een som van 2\times2=4 producten. Ieder product bestaat uit een term a of b vermenigvuldigd met een term c of d.

Ook bij meer termen kun je op die manier het aantal haakjes wegwerken:

(a+b+c)(d+e+f)=ad+bd+cd+ae+be+ce+af+bf+cf.
Het aantal termen is dan 3\times3=9. Iedere term bestaat uit het product van twee letters.

Ook meer dan twee factoren is mogelijk:

(a+b)(c+d)(e+f)=(ac+bc+ad+bd)(e+f)=ace+bce+ade+bde+acf+bcf+adf+bdf.
Het aantal termen is dan 2\times2\times2=8, iedere term bestaat uit het product van drie letters.

Voorbeeld

(x+2)(x+3)=x\cdot x+2\cdot x+x\cdot3+2\cdot3=x^2+2x+3x+6=x^2+5x+6.

Voorbeeld

(3a-b)(a+2b)=3a\cdot a-b\cdot a+3a\cdot2b-b\cdot2b=3a^2-ab+6ab-2b^2=3a^2+5ab-2b^2

Voorbeeld

(x^2-x+1)(x+1)=x^2\cdot x-x\cdot x+1\cdot x+x^2\cdot1-x\cdot1+1\cdot1= x^3-x^2+x+x^2-x+1=x^3+1.

Voorbeeld

(x+1)(x+2)(x+3) = (x^2+x+2x+2)(x+3) = (x^2+3x+2)(x+3) = x^3+3x^2+2x+3x^2+9x+6 = x^3+6x^2+11x+6.

Voorbeeld

Ontbindt x^2+5x+6 in een expressie van de vorm (x+a)(x+b).

Dit soort ontbindingen komen vaak voor. Meestal zie je niet meteen hoe je moet ontbinden. Eén manier is om de zogenaamde som-product methode te gebruiken. Dit gaat als volgt:

(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab.
Stel dus
a+b = 5, ab = 6.
Je bent dus op zoek naar een paar getallen a en b waarvan de som gelijk is aan 5, en het product gelijk is aan 6. Dit verklaart de naam van de methode.

Na enig puzzelen zie je dat a=2 en b=3, dus x^2+5x+6=(x+2)(x+3).

Bedenk dat deze methode alleen werkt als er een ontbinding is met a en b gehele getallen. Als je op deze manier x^2+5x+5 wilt ontbinden gaat het niet. Het getal 5 kun je op één manier als product van gehele getallen schrijven, namelijk 5=5\cdot1. De som van 5 en 1 is echter niet gelijk aan 5, dus er is geen ontbinding in de vorm (x+a)(x+b) met a en b geheel.