TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Het kwadraat van een som of een verschil

Een speciaal geval van haakjes wegwerken is het kwadraat van a+b:

(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a\cdot a+b\cdot a+a\cdot b+b\cdot b=a^2+2ab+b^2.
In woorden wordt deze formule als volgt uitgedrukt:
Het kwadraat van de som van twee termen is de som van de kwadraten van de termen plus het dubbele product van de termen.
Het ``dubbele product'' slaat op de term 2ab.

Vergelijkbaar met bovenstaande formule is het kwadraat van a-b:

(a-b)^2=(a-b)(a+b)=a\cdot a-b\cdot a-a\cdot b+b\cdot b=a^2-2ab+b^2.

Het is belangrijk dat je deze formules uit het hoofd kent, met name om kwadraten te kunnen herkennen: Bekijk de volgende expressie:

x^4+2x^2y^2+y^4
Herken je dit als het kwadraat ergens van? Als je het niet ziet, bereken dan (x^2+y^2)^2.

Voorbeeld

(a+b+c)^2 = (a+(b+c))^2 = a^2+2a(b+c)+(b+c)^2 = a^2+2ab+2ac+b^2+2bc+c^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac.
In woorden:
Het kwadraat van een drieterm is de som van de kwadraten van de termen plus de som van alle dubbele producten van verschillende termen.

Voorbeeld

(x+y)^4 = \left((x+y)^2\right)^2 = (x^2+2xy+y^2)^2 = (x^2)^2+(2xy)^2+(y^2)^2+2x^2\cdot2xy+2x^2y^2+2\cdot2xy\cdot y^2 = x^4+4x^2y^2+y^4+4x^3y+2x^2y^2+4xy^3 = x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4.