TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Het verschil van twee kwadraten

Als je haakjes wegwerkt in het product (a+b)(a-b) krijg je

(a+b)(a-b)=a^2+ba-ab-b^2=a^2-b^2.
We noemen dit product, samen met de kwadraten van a+b en a-b ook wel merkwaardige producten. Je moet deze formule uit je hoofd kennen.

Merk op dat het resultaat dus het verschil van twee kwadraten is. Zodra je in een expressie het verschil van twee kwadraten herkent, kun je de formule dus gebruiken om je expressie te ontbinden. Denk bijvoorbeeld aan de verdubbelingsformule van de cosinus:

\cos(2\theta)=\cos^2\theta-\sin^2\theta=(\cos\theta+\sin\theta)(\cos\theta-\sin\theta).

Voorbeeld

(x+1)(x-1)=x^2-1^2=x^2-1.

Voorbeeld

De expressie x^4-1 is het verschil van twee kwadraten:

x^4-1=\left(x^2\right)^2-1^2=(x^2+1)(x^2-1).
Daarmee heb je x^4-1 ontbonden in twee factoren. De factor x^2-1 kun je trouwens ook ontbinden:
x^4-1=(x^2+1)(x^2-1)=(x^2+1)(x+1)(x-1).

Voorbeeld

Alleen voor diegenen die complexe getallen hebben gehad

De expressie x^2+1 lijkt in eerste instantie niet op het verschil van twee kwadraten, maar zie:

x^2+1=x^2-(-1)=x^2-i^2=(x+i)(x-i).
En daarmee:
x^4-1=(x^2+1)(x+1)(x-1)=(x+i)(x-i)(x+1)(x-1).
De expressie x^4-1 is ontbonden in vier factoren van de vorm x-\alpha.