TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Breuken vereenvoudigen

Breuken vereenvoudigen doe je met de rekenregel

\frac{ac}{bc}=\frac{a}{b}.
Teller en noemer hebben een gemeenschappelijke factor c. Je vereenvoudigt de breuk ac/bc door teller en noemer door c te delen.

Omdat de waarde van c onbekend is, moet bij het vereenvoudigen het voorbehoud c\neq0 worden gemaakt. De waarde van \frac{0}{0} is immers niet gedefinieerd. Daarom schrijf je de vereenvoudiging als volgt op:

\frac{ac}{bc}=\frac{a}{b}\qquad{\rm als}\;c\neq0.

Je kunt vereenvoudigen ook met 'wegstrepen' noteren. Dit is vooral handig als er veel factoren zijn:

\frac{a^2bc^2}{d^2be^2}= \frac{a^2\!\!\not{}bc^2}{d^2\!\!\not{}be^2}= \frac{a^2c^2}{d^2e^2}\qquad{\rm als}\;b\neq0.

Voorbeeld

Vereenvoudig de breuk \displaystyle\frac{x^2-1}{x-1}.

Op het eerste gezicht lijkt deze breuk niet vereenvoudigbaar. Maar de teller is het verschil van twee kwadraten:

x^2-1=x^2-1^2=(x+1)(x-1).
Nu hebben teller en noemer een gemeenschappelijke factor x-1. De breuk kan je dus schrijven als
\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=\frac{x+1}{1}=x+1\qquad{\rm als}\;x\neq1.

Voorbeeld

Vereenvoudig

\frac{a+b}{ab^2}+\frac{b-a}{a^2b}.

Er geldt:

\frac{a+b}{ab^2}+\frac{b-a}{a^2b}= \frac{a^2+b^2}{a^2b^2}
Splits de breuk en vereenvoudig:
\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}= \frac{\not\!a^2}{\not\!a^2b^2}+\frac{\not{}b^2}{a^2\not{}b^2}= \frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2}.