TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Vermenigvuldigen

De gedachte achter de definitie van het vermenigvuldigen is dat we de gebruikelijke rekenregels uit de wereld van de rationale en reële getallen zo veel mogelijk van kracht willen laten zijn in de wereld van de complexe getallen. De extra rekenregel i^2=-1 leidt je naar de definitie van vermenigvuldigen.

Eerst doen we alsof i een variabele is. Voor het product (a+bi)(c+di) van twee complexe getallen a+bi en c+di geldt dan

(a+bi)(c+di)=ac+adi+bic+bidi=ac+bdi^2+(ad+bc)i.
Nu vullen we i^2=-1 in (a+bi)(c+di):= ac-bd +(ad+bc)i.
(a+bi)(c+di)=ac+bdi^2+(ad+bc)i=ac+bd(-1)+(ad+bc)i=(ac-bd)+(ad+bc)i.
Definitie

Het product van de complexe getallen a+bi en c+di is gedefinieerd als

(a+bi)(c+di):= ac-bd +(ad+bc)i.

De vermenigvuldiging van complexe getallen generaliseert die van reële getallen. Start met twee reële getallen a en c. In uitgebreide complexe notatie zijn dit a+0\cdot i en c+0\cdot i.

(a+0\cdot i)(c+0\cdot i) = (ac-0\cdot 0)+(a\cdot 0 + 0\cdot c)i = ac+0\cdot i.
We eindigen met ac, het gewone product van de reële getallen a en c.

Voorbeeld

Volgens de definitie is het product (2+3i)(1-2i) gelijk aan

(2+3i)(1-2i)=2\cdot1-3\cdot(-2)+(2\cdot(-2)+3\cdot1)i= 2+6+(-4+3)i=8+(-1)i=8-i.
Je kunt ook de normale rekenregels gebruiken. Werk eerst de haakjes weg en gebruik vervolgens i^2=-1:
(2+3i)(1-2i)=2\cdot1+3i\cdot1-2\cdot(2i)-(3i)\cdot(2i)= 2+3i-4i-6i^2=2-i+6=8-i.

Voorbeeld

Het product van twee zuiver imaginaire getallen is reëel: In plaats van de definitie gebruik je direct

3i\cdot(-4i)=3i(-4)i=3(-4)i^2=-12\cdot-1=12.

Voorbeeld

Omdat vermenigvuldigen gedefinieerd is met behulp van de gebruikeleijke rekenregels kun je allerlei bekende regels ook op complexe getallen toepassen. Een voorbeeld is het merkwaardig product:

(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2-(-b^2)=a^2+b^2.
Officieel zou dit als volgt gaan:
(a+bi)(a-bi)=a^2-(b\cdot-b)+(a\cdot-b+b\cdot a)i=a^2+b^2+0\cdot i=a^2+b^2.