TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Breuken en delen

Definitie

Volgens deze definitie geldt voor alle z=a+bi\neq0:

z\cdot\frac{1}{z} = (a+bi)\left(\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i\right) = a\frac{a}{a^2+b^2}+bi\frac{a}{a^2+b^2}-a\frac{b}{a^2+b^2}i-bi\frac{b}{a^2+b^2}i = \frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{ab}{a^2+b^2}i-\frac{ab}{a^2+b^2}i+b\frac{b}{a^2+b^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}+\frac{ab-ab}{a^2+b^2}i = 1 + 0\cdot i = 1,
wat je ook verwacht van de definitie van 1/z.

Voor breuken en delen gelden allerlei rekenregels, die je ook kent voor reële getallen. We noemen er een paar

Voorbeeld

Bereken \displaystyle\frac{1+i}{2+i}.

Je kunt de definitie voor w/z gebruiken, maar het kan ook anders. Als je een breuk met noemer a+bi tegenkomt, vermenigvuldig je teller en noemer met a-bi. Volgens de tweede rekenregel verandert de waarde van de breuk niet. De truuk is dat (a+bi)(a-bi) een reëel getal is: (a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2+b^2. We lichten deze werkwijze toe aan de hand van een voorbeeld.

\frac{1+i}{2+i} = \frac{(1+i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{2-i+2i-i^2}{2^2+1^2} = \frac{3+i}{5} = \frac{3}{5}+\frac{1}{5}i.