TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Machtsverheffen

Definitie

Voor ieder complex getal z en voor ieder positief geheel getal n is de n-de macht van z gedefinieerd als

z^n=\overbrace{z\cdot z\cdot z\cdots z}^{\displaystyle n\;\rm{keer}}.

Voor exponenten kleiner of gelijk 0 maken we de volgende afspraak:

z^0=1.
z^n=\frac{1}{a^{-n}}\quad{\rm als }\;n<0.

De gebruikelijke eigenschappen voor machtsverheffen zijn ook geldig voor complexe getallen. We noemen er een paar:

Misschien denk je dat als je eenmaal bezig bent negatieve exponenten te definiëren, je ook meteen gebroken exponenten kunt definiëren, maar dat valt tegen. Kijk maar eens naar (3-4i)^{1/2} oftewel \sqrt{3-4i}. Als je probeert dit getal te definiëren ben je op zoek naar een complex getal z met z^2=3-4i. Er zijn twee oplossingen: z=2-i en z=i-2.

Dit is vergelijkbaar met de situatie van de wortel van een positief reëel getal. Er zijn twee oplossingen van de vergelijking x^2=4, namelijk x=2 en x=-2. Je kiest dan de positieve oplossing als definitie van \sqrt{4}. Maar geen van de oplossingen van z^2=3-4i is ``positief''. Er is ook op geen andere manier een zinnige ordening op de complexe getallen te bedenken zodat je \sqrt{3-4i} eenduidig kunt definiëren. Daarom definiëren we machten van complexe getallen alleen voor gehele exponenten.

Voorbeeld

Het complexe getal z^{-1} is gelijk aan 1/z. De schrijfwijze z^{-1} wordt dan ook vaak als alternatieve notatie voor 1/z gebruikt.

Voorbeeld

Definieer \zeta=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\sqrt{3}, dan

\zeta^2=\frac{1}{4}-2.\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{4}\cdot3= -\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\sqrt{3},
en
\zeta^3=\zeta\cdot\zeta^2=\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\sqrt{3}\right)\left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\sqrt{3}\right)= \left(-\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}i\sqrt{3}\right)^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1.
Er is dus een complex getal, ongelijk 1, waarvan de derdemacht gelijk is aan 1.

Voorbeeld

Neem \zeta uit het voorige voorbeeld. Definieer \eta=\zeta^2, dan is de derdemacht van \eta ook gelijk aan 1:

\eta^3=\left(\zeta^2\right)^3=\zeta^6=\left(\zeta^3\right)^2=1^2=1.
We hebben nu drie complexe getallen waarvan de derdemacht gelijk is aan 1, namelijk \zeta, \eta en 1. Dit zijn ook de enige.