TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Conjugeren

Definitie

Voor ieder complex getal z=a+bi definiëren we de complexe geconjugeerde \overline{z} van z door

\overline{z}=a-bi.

We zeggen vaak geconjugeerde in plaats van 'complex geconjugeerde'.

Eigenschappen

De uitdrukking z\overline{z} kom je regelmatig tegen bij berekeningen met complexe getallen. Een voorbeeld hiervan tref je aan bij het schrijven van 1/z in standaarvorm. De berekening kun je als volgt beschrijven (met x=a+bi):

\frac{1}{z}=\frac{1}{z}\cdot\frac{\overline{z}}{\overline{z}}= \frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{a-ib}{a^2+b^2}= \frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i.

Voorbeeld

De geconjugeerde van 2+3i is 2-3i. De geconjugeerde van 1-2i is 1+2i. De geconjugeerde van i is -i.

Voorbeeld

De geconjugeerde van \sqrt{2} is \sqrt{2}, want \sqrt{2} is een reëel getal.

Voorbeeld

Bereken \displaystyle\frac{1+i}{2+i}.

\frac{1+i}{2+i} = \frac{(1+i)(\overline{2+i})}{(2+i)(\overline{2+i})} = \frac{(1+i)(2-i)}{2^2+1^2} = \frac{3+i}{5} = \frac{3}{5}+\frac{1}{5}i.
Zie ook voorbeeld ???.

Voorbeeld

Bereken (1+i)^4(\overline{1+i})^4.

Je kunt natuurlijk de vierdemacht van 1+i en 1-i berekenen, maar het kan sneller:

(1+i)^4(\overline{1+i})^4=\left((1+i)(\overline{1+i})\right)^4= (1^2+1^2)^4=2^4=16.