TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

De absolute waarde en het argument

Definitie

De absolute waarde van een complex getal z=a+bi is gedefinieerd als de afstand van z tot 0, en wordt genoteerd als |z|.

Het argument van z\neq0 is gedefinieerd als de hoek die het lijnstuk van 0 naar z maakt met de positieve reële as, en wordt genoteerd als {\rm arg}(z).

Uit de stelling van Pythagoras volgt dat |z|=\sqrt{a^2+b^2}. Merk op dat |z|^2=a^2+b^2=z\overline{z}.

De absolute waarde van een complex getal wordt ook wel de modulus genoemd.

Het argument wordt, tenzij uitdrukkelijk anders vermeld, gemeten in radialen.

Het argument van 0 is niet gedefinieerd.

De meting van het argument gebeurt van de positieve reële as naar z toe. Als je daarbij linksom draait (dus tegen de wijzers van de klok in), is het argument positief. En als je rechtsom draait (dus met de wijzers van de klok mee), is het argument negatief.

Bij het bepalen van de hoek is het toegestaan om één of meer hele draaien extra te maken. Voor de uiteindelijke richting waarin z ligt maakt dit namelijk niets uit. Het argument is dus bepaald op een geheel veelvoud van 2\pi na.

Je kunt altijd een (maar ook niet meer dan één) waarde voor het argument vinden in het interval (-\pi,\pi]. Dit noemt men de hoofdwaarde van het interval.

Voorbeeld

De absolute waarde van i is 1: |i|=\sqrt{0^2+1^2}=1. Het argument is de hoek die de imaginaire as maakt met de reële as, waarbij je begint bij de reële as. Als je linksom draait is de hoek 90^\circ=\frac{\pi}{2} radialen. Als je rechtsom draait is de hoek 270^\circ=\frac{3\pi}{2} radialen. Je mag dus zowel {\rm arg}(i)=\frac{\pi}{2} als {\rm arg}(i)=-\frac{3\pi}{2} zeggen. Maar {\rm arg}(i)=\frac{5\pi}{2} is ook toegestaan.

Er zijn feitelijk oneindig veel mogelijke waarden voor {\rm arg}(i): voor ieder geheel getal k geldt {\rm arg}(i)=\frac{\pi}{2}+2k\pi. Er is precies één hoofdwaarde van {\rm arg}(i), namelijk \frac{\pi}{2}.

Voorbeeld

Voor een complex getal x op de positieve reële as geldt: |x|=x en {\rm arg}(x)=0.

Voorbeeld

De hoofdwaarde van het argument van z is de kleinste hoek die de richting van z bepaalt. Alleen als een complex getal x zich op de negatieve imaginaire as bevindt zijn deze hoeken gelijk. In dat geval geldt dus {\rm arg}(x)=\pi, maar {\rm arg}(x)=-\pi is ook goed. Volgens de definitie is de hoofdwaarde gelijk aan +\pi. Deze keuze is arbitrair en heeft verder geen betekenis.