TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Poolcoördinaten

Definitie

De absolute waarde en het argument van een complex getal z\neq0 heten de poolcoördinaten van z.

Ondanks het feit dat het argument van een complex getal niet eenduidig gedefinieerd is, is z eenduidig vastgelegd door zijn poolcoördinaten.

Als van een complex getal z de poolcoördinaten zijn gegeven, kun je het reële en imaginaire deel van z als volgt uitdrukken in r en \phi:

{\rm Re}(z) = r\cos(\phi), {\rm Im}(z) = r\sin(\phi).
Met andere woorden:
z=r\cos(\phi)+ri\sin(\phi)=r(\cos(\phi)+i\sin(\phi))
Deze schrijfwijze noemen we de voorstelling in poolcoördinaten\/ van z.

Het complexe getal \zeta=\cos(\phi)+i\sin(\phi) is een bijzonder getal. Dit getal heeft namelijk absolute waarde 1:

|\zeta|=\sqrt{\cos(\phi)^2+\sin(\phi)^2}=\sqrt{1}=1.
Met andere woorden: \zeta ligt op de cirkel met middelpunt 0 en straal 1. Deze cirkel noemt men ook wel de eenheidscirkel.

Ieder complex getal ongelijk 0 is dus te schrijven als het product van een positief reëel getal en een getal op de eenheidscirkel.

Het getal \zeta heeft het zelfde argument als z, en je kunt het meetkundig construeren door de lijn die 0 en z verbindt te snijden met de eenheidscirkel.

Voorbeeld

Van z is gegeven dat |z|=\sqrt{2} en dat {\rm arg}(z)=\frac{\pi}{4}. Dan

{\rm Re}(z)=\sqrt{2}\cos(\pi/4)=\sqrt{2}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{2}=1.
Op dezelfde manier vind je {\rm Im}(z)=1, dus z=1+i. Je kunt ook als volgt te werk gaan:
z=\sqrt{2}(\cos(\pi/4)+i\sin(\pi/4))=\sqrt{2}(\frac{1}{2}\sqrt{2}+\frac{1}{2}i\sqrt{2})=1+i.