TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Poolcoördinaten en vermenigvuldigen

Stel dat van twee complexe getallen z en w de voorstelling in poolcoördinaten gegeven is, dus

z=r(\cos(\phi)+i\sin(\phi))
en
w=s(\cos(\theta)+i\sin(\theta)),
waarbij r=|z|, s=|w|, \phi={\rm arg}(z) en \theta={\rm arg}(w). Dan is de voorstelling in poolcoördinaten van zw gelijk aan
zw=(rs)(\cos(\phi+\theta)+i\sin(\phi+\theta)).
Met andere woorden:
|zw|=|z|\cdot|w|
en
{\rm arg}(zw)={\rm arg}(z)+{\rm arg}(w).

Bij de laatste gelijkheid is een waarschuwing op zijn plaats: omdat het argument van een complex getal op een geheel veelvoud van 2\pi na bepaald is kan het voorkomen dat de gelijkheid opgaat op een veelvoud van 2\pi na. We zeggen dan ook

{\rm arg}(zw)={\rm arg}(z)+{\rm arg}(w)+2k\pi
voor zeker geheel getal k.

Het product van z en w kun je meetkundig construeren. Er geldt namelijk dat de driehoek met hoekpunten 0 , z en zw gelijkvormig is met de driehoek met hoekpunten 0, 1 en w. Anderszijds is de driehoek met hoekpunten 0 , w en zw is gelijkvormig met de driehoek met hoekpunten 0, 1 en z.

Voorbeeld

Van z en w is gegeven dat

|z| = 2 \\ {\rm arg}(z) = \frac{\pi}{3}
en
|w| = 3 \\ {\rm arg}(z) = \frac{\pi}{6}
Bereken zw.

Voor het product zw geldt

|zw| = |z|\cdot|w|= 2\cdot3=6, {\rm arg}(zw) = {\rm arg}(z)+{\rm arg}(w)= \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}.
Dus
zw=6\left(\cos(\pi/2)+i\sin(\pi/2)\right)=6(0+1\cdot i)=6i.