TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Poolcoördinaten en delen

Stel dat van twee complexe getallen z en w de voorstelling in poolcoördinaten gegeven is, dus

z=r(\cos(\phi)+i\sin(\phi))
en
w=s(\cos(\theta)+i\sin(\theta)),
waarbij r=|z|, s=|w|, \phi={\rm arg}(z) en \theta={\rm arg}(w). Dan is de voorstelling in poolcoördinaten van z/w gelijk aan
\frac{z}{w}=\frac{r}{s}(\cos(\phi-\theta)+i\sin(\phi-\theta)).
Met andere woorden:
\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}
en
{\rm arg}(z/w)={\rm arg}(z)-{\rm arg}(w)+2k\pi
voor zeker geheel getal k.

Een speciaal geval is 1/z. In dat geval geldt

\frac{1}{z}=\frac{1}{r}(\cos(0-\phi)+i\sin(0-\phi))= \frac{1}{r}(\cos(\phi)-i\sin(\phi)).

Als z op de eebheidscirkel ligt, dan |z|=1, en dus

z^{-1}=\frac{1}{z}=\cos(\phi)-i\sin(\phi)=(\cos(\phi)-i\sin(\phi)=\overline{z}.
Voor punten op de eenheidscirkel geldt dat inverteren hetzelfde is als conjugeren. Dat is geen verrassing, immers z^{-1}=1/z=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}.

Het quotiënt van z en w kun je meetkundig construeren. Er geldt namelijk dat de driehoek met hoekpunten 0 , z/w en z gelijkvormig is met de driehoek met hoekpunten 0, 1 en w. Anderszijds is de driehoek met hoekpunten 0 , w en z is gelijkvormig met de driehoek met hoekpunten 0, 1 en z/w.

Voorbeeld

Van z en w is gegeven dat

|z| = 2 {\rm arg}(z) = \frac{\pi}{3}
en
|w| = 3 {\rm arg}(z) = \frac{\pi}{6}
Bereken z/w.

Voor het quotient z/w geldt

|z/w| = \frac{|z|}{|w|}= \frac{2}{3}, {\rm arg}(z/w) = {\rm arg}(z)-{\rm arg}(w)= \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}.
Dus
\frac{z}{w}= \frac{2}{3}\left(\cos(\pi/6)+i\sin(\pi/6)\right)= \frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}i\right)= \frac{1}{3}\sqrt{3}+\frac{1}{3}i.