TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Poolcoördinaten en machtsverheffen

Omdat machtsverheffen herhaald vermenigvuldigen is kun je ook bij het machtsverheffen de poolcoördinaten hoed gebruiken. Stel

z=r(\cos(\phi)+i\sin(\phi)),
en stel n is een geheel getal. Dan is de voorstelling in poolcoördinaten van z^n gelijk aan
z^n=r^n(\cos(n\phi)+i\sin(n\phi).
Met andere woorden:
|z^n|=|z|^n
en
{\rm arg}(z^n)=n\cdot{\rm arg}(z)+2k\pi
voor zeker geheel getal k.

Voorbeeld

Het voordeel van het gebruik van poolcoördinaten komt pas goed tot zijn recht bij grote exponenten. Stel we willen (1+i)^{20} berekenen. Als we dit op de gebruikelijke manier zouden doen, moet je haakjes wegwerken in de uitdrukking

\underbrace{(1+i)(1+i)\cdots(1+i)}_{20\;{\rm keer}}.
Het is duidelijk dat dit onbegonnen werk is. Maar met behulp van poolcoördinaten is het zo gebeurd.

Eerst schrijven we 1+i in poolcoördinaten:

1+i=\sqrt{2}(\cos(\pi/4)+i\sin(\pi/4)).
Dan
(1+i)^{20} = \left(\sqrt{2}\right)^{20}(\cos(20\cdot\frac{\pi}{4})+i\sin(20\cdot\frac{\pi}{4})) = \left(2^{1/2}\right)^{20}(\cos(5\pi)+i\sin(5\pi)) = 2^{10}(-1+0\cdot i)=-2^{10}=-1024.