TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Poolcoördinaten en conjugeren

Stel

z=r(\cos(\phi)+i\sin(\phi)),
Dan is de voorstelling in poolcoördinaten van de geconjugeerde \overline{z} gelijk aan
\overline{z}=r(\cos(\phi)-i\sin(\phi).
Merk op dat \cos(-\phi)=\cos(\phi), en dat \sin(-\phi)=-\sin(\phi). We kunnen dus ook schrijven:
\overline{z}=r(\cos(-\phi)+i\sin(-\phi).
Met andere woorden:
|\overline{z}|=|z|
en
{\rm arg}(\overline{z})=-{\rm arg}(z).

Meetkundig gezien betekent conjugeren: spiegelen ten opzichte van de reële as. Je kunt het zelfde effect bewerkstelligen door de hoek waarover je moet draaien van teken te veranderen.

Voorbeeld

Stel z=1+i, dan {\rm arg}(z)=\pi/4. Voor de geconjugeerde van z geldt: {\rm arg}(\overline{z})=-{\rm arg}(z)=-\pi/4.