TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Vergelijkingen

Complexe getallen komen goed van pas bij het oplossen van vergelijkingen. De reële getallen schieten in dat opzicht nog wel eens te kort. De vergelijking z^2=-1 heeft geen reële oplossingen, maar wel complexe.

Complexe vergelijkingen zijn eigenlijk stelsels vergelijkingen, omdat een complex getal wordt bepaald door twee grootheden, namelijk het reëel deel en het imaginair deel. Een vergelijking van de vorm f(z)=g(z), met f(z) en g(z) complexe uitdrukkingen in z kun je dan splitsen in een reëel en ee imaginair deel:

{\rm Re}(f(z)) = {\rm Re}(g(z)), {\rm Im}(f(z)) = {\rm Im}(g(z)).
Dit levert een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden Re(z) en Im(z). Toch is het niet altijd nodig om de vergelijking op te splitsen in het reële en imaginaire deel, zoals je in het eerste voorbeeld kunt zien.

Er zijn eindeloos veel soorten vergelijkingen, ieder met zijn eigen oplossingsmethode. Op deze site zullen we de belangrijkste de revue laten passeren. Op deze pagina geven we enkele voorbeelden, zodat je de smaak te pakken kunt krijgen.

Voorbeeld

Los op 2z=iz+5.

Eerst isoleren we z. Breng de term iz naar het linkerlid:

2z-iz=5.
Breng z buiten haakjes:
(2-i)z=5.
Deel linker en rechterlid door 2-i:
z=\frac{5}{2-i}.
Daarmee is de vergelijking opgelost.

We zijn nog niet klaar, de oplossing is nog niet in standaardvorm.

z=\frac{5}{2-i}=\frac{5(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{5(2+i)}{5}=2+i.

Tenslotte controleren we of 2+i inderdaad een oplossing is:

iz+5=i(2+i)+5=2i-1+5=2i+4=2(i+2)=2z.

Voorbeeld

Los op z=i\overline{z}.

Schrijf z=a+bi, dan

z = i\overline{z} a+bi = i(\overline{a+bi}) a+bi = i(a-bi) a+bi = ai+b a-b+(b-a)i = 0
Dit betekent dat a=b, oftwel z=a+bi=a+ai=a(1+i). Iedere waarde van a levert een oplossing. Stel z=a(1+i), dan
i\overline{z}=i\overline{a(1+i)}=ai(1-i)=ai+a=a(i+1)=z.

Er zijn dus oneindig veel oplossingen. De oplossingen vormen een lijn, en wel de lijn door 0 en 1+i.

Voorbeeld

Los op |z-i|=|z-1|.

Deze vergelijking kun je oplossen door absolute waarden te interpreteren als een manier om afstanden te meten: |v-w| is de afstand tussen de punten u en v. De oplossing van |z-i|=|z-1| bestaat uit alle punten z waarvan de afstand tot 1 gelijk is aan de afstand tot i. Dit is dus de middelloodlijn van i en 1, met andere woorden: dit zijn de complexe getallen a(1+i) met a een willekeurig reëel getal.

De vergelijking kan ook algebraïsch worden opgelost. Omdat er absolute waarden in de vergelijking voorkomen, dreigen er vierkantswortels in de berekening te ontstaan. Om dit te voorkomen kwadrateren we het linker- en rechterlid van de vergelijking eerst.

|z-i|^2 = |z-1|^2 (z-i)\overline{(z-i)} = (z-1)\overline{(z-1)} (z-i)(\overline{z}+i) = (z-1)(\overline{z}-1) z\overline{z}+iz-i\overline{z}+1 = z\overline{z}-z-\overline{z}+1 iz-i\overline{z} = -z-\overline{z} iz+z = i\overline{z}-\overline{z} (i+1)z = (i-1)\overline{z} z = \frac{i-1}{i+1}\overline{z}
Omdat \frac{i-1}{i+1}=i is de vergelijking |z-i|=|z-1| te herleiden tot z=i\overline{z}, de vergelijking uit het vorige voorbeeld.

Voorbeeld

Los op z^2-2z+2=0.

Dit is een kwadratische vergelijking. Over dit type vergelijkingen is een aparte pagina gemaakt (\rightarrow ???). Kwadratische vergelijkingen kun je oplossen met behulp van kwadraatafsplitsen:

z^2-2z+2 = 0 z^2-2z+1+1 = 0 (z-1)^2+1 = 0 (z-1)^2 = -1
Substitueer w=z-1, dan wordt de vergelijking: w^2=-1. Eén oplossing ligt voor de hand: w=i. Maar w=-i is ook een oplossing, dus
w=z-1=\pm i,
oftewel
z=1\pm i.