TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

De vergelijking z^n=w

De vergelijking z^n=w (met onbekende z en gegeven complex getal w\neq0 en positief geheel getal n) los je op met behulp van poolcoördinaten. Stel dat de polaire schrijfwijze van w gelijk is aan w=s(\cos(\theta)+i\sin(\theta)), met s=|w| en \theta={\rm arg}(w). Ook z schrijven we polair: z=r(\cos(\phi)+i\sin(\phi)). Bedenk dat r=|z| en \phi={\rm arg}(z) onbekend zijn. We bepalen r en \phi ieder apart.

Eerst neem je de absolute waarde van linker- en rechterlid: |z|^n=|w|, oftewel

r^n=s.
Omdat s=|w|>0 is r te berekenen met behulp van de n-de machtswortel: r=\sqrt[n]{s}.

Het argument \phi van z bepaal je door te bedenken dat op een geheel veelvoud van 2\pi na {\rm arg}(z^n) gelijk is aan n\cdot{\rm arg}(z). Dus

n\phi=n{\rm arg}(z)={\rm arg}(z^n)+2k\pi={\rm arg}(w)+2k\pi=\theta+2k\pi
voor een geheel getal k. Dus
\phi=\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n}.
Hiermee is zijn de oplossingen bepaald:
z_k=\sqrt[n]{|w|}(\cos(\phi_k)+i\sin(\phi_k)),
met \phi_k=\frac{{\rm arg}(w)}{n}+\frac{2k\pi}{n}. Hierbij volstaat het om de getallen k te kiezen in 0,1,2\ldots,n-1. Je krijgt dus altijd precies n verschillende oplossingen z_0,z_1,z_2\ldots,z_{n-1}.

Voorbeeld

Los op z^4=-4.

Gegeven is dus n=4 en w=-4. Er geldt dat s=|w|=4 en \theta={\rm arg}(w)=\pi. Dus |z|=\sqrt[4]{4}=4^{1/4}=(2^2)^{1/4}=2^{1/2}=\sqrt{2}.

Voor het argument van z gebruik je de formule voor \phi_k:

\phi_k=\frac{{\rm arg}(w)}{n}+\frac{2k\pi}{n}= \frac{\pi}{4}+\frac{2k\pi}{4}= \frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}
met k=0,1,2,3. Hiermee bereken je vier waarden:
\phi_0=\frac{\pi}{4},
\phi_1=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{4},
\phi_2=\frac{\pi}{4}+2\frac{\pi}{2}=\frac{5\pi}{4},
\phi_3=\frac{\pi}{4}+3\frac{\pi}{2}=\frac{7\pi}{4}.
Dit levert vier opplossingen:
z_0 = \sqrt{2}(\cos(\phi_0)+i\sin(\phi_0)) = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}+\frac{1}{2}i\sqrt{2}\right) = 1+i.
Met gelijksoortige berekeningen krijg je de overige oplossingen z_1=-1+i, z_2=-1-i en z_3=1-i.

Voorbeeld

De vergelijking z^2=w heeft één oplossing als w=0 (namelijk z=0), en twee oplossingen als w\neq0. In dat geval zijn de oplossingen (met \theta={\rm arg}(w))

z_0=\sqrt{|W|}\left(\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)
en
z_1=\sqrt{|W|}\left(\cos\left(\frac{\theta}{2}+\pi\right)+i\sin\left(\frac{\theta}{2}+\pi\right)\right).
Merk op dat \cos(a+\pi)=-\cos(a) en \sin(a+\pi)=-\sin(a), dus z_1=-z_0. Vandaar dat men de oplossingen van z^2=w vaak beschrijft als
z_{0,1}=\pm\sqrt{|W|}\left(\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)