TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Polynoomvergelijkingen

Definitie

Een polynoom van graad n is een functie van de vorm

a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_2z^2+a_1z+a_0,
waarbij a_0,a_1,\ldots,a_n complexe getallen zijn en waarbij a_n\neq0. De getallen a_0,a_1,\ldots,a_n heten de coëfficiënten van het polynoom.

Definitie

Een polynoomvergelijking van graad n is een vergelijking van de vorm

a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_2z^2+a_1z+a_0=0,
waarbij a_0,a_1,\ldots,a_n complexe getallen zijn en waarbij a_n\neq0. Het getal n heet de graad van het polynoom.

Definitie

Een complex getal u is oplossing of wortel van de vergelijking als een

a_nu^n+a_{n-1}u^{n-1}+\cdots+a_2u^2+a_1u+a_0=0.
Een oplossing u heet ook wel nulpunt van het polynoom a_nz^n+\cdots+a_2z^2+a_1z+a_0.

Als n=2 spreekt men ook van een kwadratische vergelijking. Dit soort vergelijkingen kun je oplossen met de abc-formule (zie ???). Deze formule drukt de oplossing uit in een formule waarin de vierkantswortel een rol speelt.

Ook voor derdegraads polynoomvergelijkingen is er een formule, de zogenaamde formule van Cardano (zie ???). In deze formule vind je vierkants- en derdemachtswortels.

Ook voor vierdegraadsvergelijkingen is een formule te bedenken, maar dan houdt het op: De stelling van Abel-Ruffini zegt dat voor n-degraads polynoomvergelijkingen met n\geq5 is geen "wortelformule" te construeren. Dat wil niet zeggen dat er geen oplossingen zijn. Sterker nog, de hoofdstelling van de algebra zegt juist dat iedere polynoomvergelijking oplossingen heeft (zie ???).

Voorbeeld

De vergelijking z^2-(2+2i)z+1+2i=0 is een kwadratische vergelijking met complexe coëfficiënten. Deze vergelijking heeft twee wortels. Het getal 1 is een wortel:

1^2-(2+2i)\cdot1+1+2i=1-2-2i+1+2i=0.
De andere wortel is 1+2i:
(1+2i)^2-(2+2i)(1+2i)+1+2i=((1+2i)-(2+2i)+1)(1+2i)=0(1+2i)=0.

Voorbeeld

Het complexe getal \zeta=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\sqrt{3} is oplossing van de vijfdegraadsvergelijking z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0. Dit volgt eenvoudig uit de gelijkheid

(z-1)(z^5+z^4+z^3+z^2+z+1)=z^6-1.
Dit bewijs je envoudig door haakjes uitwerken. Er geldt dus
z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=\frac{z^6-1}{z-1}.
Het complexe getal \zeta is het punt op de eenheidscirkel met argument \pi/6, dus \zeta^6=1, en daarmee bereken je eenvoudig
\zeta^5+\zeta^4+\zeta^3+\zeta^2+\zeta+1=\frac{\zeta^6-1}{\zeta-1}= \frac{1-1}{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\sqrt{3}}=0.