TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Kwadratische vergelijkingen

Een kwadratische vergelijking is een vergelijking van de vorm az^2+bz+c=0 met onbekende z en gegeven complexe getallen a\neq0, b en c. De abc-formule is meestal niet bruikbaar, omdat hierin de vierkantswortel voorkomt. De wortelfunctie is niet gedefinieerd voor complexe getallen.

Om de kwadratische vergelijking op te lossen maken we gebruik van een methode die kwadraatafsplitsen heet. Deze methode maakt gebruik van het feit dat z^2+\alpha z op een constante na gelijk is aan (z+\frac{1}{2}\alpha)^2:

(z+\textstyle\frac{1}{2}\alpha)^2=z^2+2\cdot\textstyle\frac{1}{2}\alpha z+\textstyle\frac{1}{4}\alpha^2= z^2+\alpha z+\textstyle\frac{1}{4}\alpha^2,
dus
z^2+\alpha z=(z+\textstyle\frac{1}{2}\alpha)^2-\textstyle\frac{1}{4}\alpha^2.
Dit verklaart de naam "kwadraatafsplisten": je hebt van z^2+\alpha z geschreven als som van een kwadraat(namelijk (z+\textstyle\frac{1}{2}\alpha)^2) en een constante (-\textstyle\frac{1}{4}\alpha^2).

Voordat je een kwadraat kan afspitsen moet je de kwadratische vergelijking eerst door a delen.

az^2+bz+c = 0 z^2+\frac{b}{a}z+\frac{c}{a} = 0 z^2+\frac{b}{a}z = -\frac{c}{a}.
Splits een kwadraat af in het linkerlid, en breng de constante term naar rechts:
\left(z+{\textstyle\frac{1}{2}}\frac{b}{a}\right)^2- {\textstyle\frac{1}{4}}\left(\frac{b}{a}\right)^2 = -\frac{c}{a} \left(z+\frac{b}{2a}\right)^2 = {\textstyle\frac{1}{4}}\left(\frac{b}{a}\right)^2-\frac{c}{a}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}
Het getal b^2-4ac heet de discriminant van de vergelijking. We noteren de discriminant met D. Vermenigvuldig links en rechts met 4a^2=(2a)^2:
(2az+b)^2=D.
Als je u=2az+b definieert is de vergelijking gereduceerd tot
u^2=D.

In het algemeen is D een complex getal. Er zijn nu twee mogelijkheden:

Merk op dat als D=0 de abc-formule ook de oplossing -b/2a oplevert.

Voorbeeld

Als a, b en c reële getallen zijn is de discriminant D ook reëel. Voor D\geq0 is s=|D|=D en \theta={\rm arg}(D)=0, dus \rho=1. De abc-formule wordt dan

z=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a},
De oude vertrouwde abc-formule zoals je hem voor reële coëfficiënten hebt geleerd.

Voor D<0 geeft de reële abc-formule geen oplossingen, maar de complexe variant wel. In dat geval geldt s=|D|=-D en \theta={\rm arg}(D)=\pi, dus \rho=\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=0+1\cdot i=i. De abc-formule kun je dan herleiden tot

z=\frac{-b\pm i\sqrt{-D}}{2a},
Merk op dat een oplossing de geconjugeerde is van de andere.

Neem bijvoorbeeld de vergelijking x^2+x+1=0. De discriminant is D=1^2-4\cdot1\cdot1=-3<0. De oplossingen zijn

z=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}\pm\frac{1}{2}i\sqrt{3}.
Deze oplossingen liggen op de eenheidscirkel en hebben argument \frac{2\pi}{3} en -\frac{2\pi}{3}.

Voorbeeld

Los op z^2-(2+2i)z+1+2i=0.

De discriminant is D=(2+2i)^2-4(1+2i)=4+8i-4-4-8i=-4. Het argument van D is \theta=\pi, dus \rho=\cos(\pi)+i\sin(pi)=i, en dus

z=\frac{-b\pm\rho\sqrt{|D|}}{2a}= \frac{-(-(2+2i))\pm i\sqrt{4}}{2}= \frac{2+2i\pm 2i}{2}= 1+i\pm i=1\;{\rm of}\;1+2i.