TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

De hoofdstelling van de algebra

De hoofdstelling van de algebra zegt dat iedere polynoomvergelijking van graad n\geq1 oplossingen heeft. Precies gezegd: stel p(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_2z^2+a_1z+a_0 is een polynoom van graad n, dan zijn er complexe getallen z_1,z_2,\ldots,z_n zodat

a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_2z^2+a_1z+a_0=a_n(z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_n).
Het is duidelijk dat z_1,z_2,\ldots,z_n nulpunten zijn van p(z). Dit zijn ook meteen alle nulpunten van p(z).

Het product a_n(z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_n) heet een ontbinding in lineaire factoren. De lineaire factoren zijn de uitdrukkingen z-z_1, z-z_2 etcetera. De ontbinding is uniek, op de volgorde van de lineaire factoren na.

De wortels z_1,z_2,\ldots,z_n hoeven niet allemaal verschillend te zijn. Wel is het aantal factoren gelijk aan de graad van het polynoom. Het polynoom z^2+2z+1 is te ontbinden als (z+1)^2=(z+1)(z+1).

Het hoofdstelling zegt alleen maar dat er wortels zijn, maar de stelling vertelt je niet hoe je ze moet vinden. Voor n-degraads polynoomvergelijkingen met n\geq5 is er niet eens een algemene wortelformule. Dit is een stelling: de stelling van Abel-Ruffini. Soms kun je wel een globale uitspraak doen. Bijvoorbeeld

Als alle coëfficiënten reëel zijn, en de graad is oneven, dan is er tenminste één reëel nulpunt.
Of
Als alle coëfficiënten reëel zijn, en z is een wortel, dan is \overline{z} ook een wortel.

Voorbeeld

Het derdegaads polynoom z^3-2z^2+1 heeft reële coëfficiënten, en heeft dus tenminste één reëel nulpunt. De plot van de functie f(x)=x^3-2x^2+1 laat zien dat er zelfs drie reële nulpunten zijn. De nulpunten zijn 1, \frac{1+\sqrt{5}}{2} en \frac{1-\sqrt{5}}{2}. De ontbinding in lineaire factoren is

z^3-2z^2+1=(z-1)\left(z-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\left(z-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right).

Voorbeeld

Het derdegaads polynoom z^3-z+1 heeft reële coëfficiënten, en heeft dus tenminste één reëel nulpunt. De plot van de functie f(x)=x^3-x+1 laat zien dat er één reëel nulpunt is. Het reële nulpunt is

\sqrt[3]{-\frac{1}{2}+\frac{1}{18}\sqrt{69}}+\sqrt[3]{-\frac{1}{2}-\frac{1}{18}\sqrt{69}} \approx-1.3247.
Er zijn nog twee nulpunten, maar deze zijn imaginair.

Voorbeeld

Het vijfdegaads polynoom z^5-z+1 heeft reële coëfficiënten, en heeft dus tenminste één reëel nulpunt. De plot van de functie f(x)=x^5-x+1 laat zien dat dit nulpunt tussen -2 en -1 ligt. Dat nulpunt is het enige reële nulpunt: de overige nulpunten zijn allemaal imaginair. Een numerieke benadering voor dit nulpunt is -1.16730. Er bestaat echter geen mooie wortelformule voor deze oplossing.

Voorbeeld

Let op: het is niet zo dat vijfde- of hogeregraadspolynomen geen nulpunten hebben, of dat deze nulpunten niet zijn te schrijven met behulp van wortelfuncties. De stelling van Abel-Ruffini zegt dat er geen algemene wortelformule is. Het vijfdegraads polynoom z^5-15 z^4+85 z^3-225 z^2+274 z-120 heeft vijf reële nulpunten, namelijk de getallen 1, 2, 3, 4 en 5.