TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Staartdelingen met polynomen

Net als met gehele getallen kun je polynomen ook op elkaar delen. Bij de deling ontstaat een quotiënt en een rest. De methode heet "staartdeling", en de werkwijze is in prinicpe gelijk aan de staartdeling bij gehele getallen. We lichten de staartdeling met polynomen toe aan de hand van een voorbeeld.

We willen 2z^3-3z^2+2 delen door z^2-1. We beginnen als volgt:

z^2-1 / 2z^3-3z^2+2\backslash
Nu kijk je naar de termen met hoogste graad (omkaderd):
\fbox{z^2}-1 / \fbox{2z^3}-3z^2+2\backslash
Het quotiënt van de omkaderde termen is 2z^3/z^2=2z, dit zet je rechts van de rechter schuine steep:
z^2-1 / 2z^3-3z^2+2\backslash2z
De expressie 2z zal één van de termen van het quotiënt blijken te zijn. We vermenigvuldigen dit met het polynoom z^2-1:
2z\cdot(z^2-1)=2z^3-2z
Dit schrijf je onder het middelste polynoom. We hebben de polynomen zo geschreven dat termen met gelijke graad onder elkaar staan. Er is geen term met z, dus we schrijven een kunstmatige term 0\cdot z:
\begin{array}{llll} z^2-1 & / & 2z^3-3z^2+0z+2 & \backslash 2z\\ & & 2z^3\phantom{+0z+}-2z\phantom{--3} & \end{array}
Trek de polynomen van elkaar af:
\begin{array}{llll} z^2-1 & / & 2z^3-3z^2+0z+2 & \backslash 2z\\ & & \underline{2z^3\phantom{+0z+}-2z\phantom{--3}} & \\ & & \phantom{2z^3}-3z^2+2z+2 & \end{array}
De zojuist gemaakte stappen herhalen we. Zodoende ontstaat er een "staart" van polynomen, hetgeen de naam verklaart.

We omkaderen weer de termen met hoogste graad. Deel de omkaderde termen op elkaar: -3z^2/z^2=-3, en schrijf het resulaat aan de rechterkant er bij:

\begin{array}{llll} \fbox{z^2}-1 & / & 2z^3-3z^2+0z+2 & \backslash 2z-3\\ & & \underline{2z^3\phantom{+0z+}-2z\phantom{--3}} & \\ & & \phantom{2z^3}\fbox{-3z^2}+2z+2 & \end{array}
Vermenigvuldig z^2-1 met -3, en schrijf dit onderaan de staart:
\begin{array}{llll} z^2-1 & / & 2z^3-3z^2+0z+2 & \backslash 2z-3\\ & & \underline{2z^3\phantom{+0z+}-2z\phantom{--3}} & \\ & & \phantom{2z^3}-3z^2+2z+2 & \\ & & \phantom{2z^3}-3z^2+\phantom{2z+\;\;}3 & \end{array}
en trek van elkaar af:
\begin{array}{llll} z^2-1 & / & 2z^3-3z^2+0z+2 & \backslash 2z-3\\ & & \underline{2z^3\phantom{+0z+}-2z\phantom{--3}} & \\ & & \phantom{2z^3}-3z^2+2z+2 & \\ & & \phantom{2z^3\;}\underline{-3z^2+\phantom{2z+\;\;}3} & \\ & & \phantom{2z^3-3z^2+\;}2z-1 & \end{array}
Nu kun je niet meer verder:
\begin{array}{llll} \fbox{z^2}-1 & / & 2z^3-3z^2+0z+2 & \backslash 2z-3\\ & & \underline{2z^3\phantom{+0z+}-2z\phantom{--3}} & \\ & & \phantom{2z^3}-3z^2+2z+2 & \\ & & \phantom{2z^3\;}\underline{-3z^2+\phantom{2z+\;\;}3} & \\ & & \phantom{2z^3-3z^2+\;}\fbox{2z}-1 & \end{array}
Het quotiënt van 2z/z^2 levert geen macht van z meer op die je bij het quotiënt rechts bij de staartdeling kunt bijschrijven. In het algemeen geldt dat je stopt zodra de graad van het polynoom onderaan de staart 0 is, of als de graad kleiner is dan de graad van het polynoom waar je door deelt.

Het polynoom rechts van de rechterstreep is het quotiënt, en het polynoom onderaan de staart is de rest.

Stelling

Als je een polynoom p(z) deelt door f(z) met een staartdeling, en het resultaat is een quotiënt q(z) en een rest r(z), dan geldt

p(z)=f(z)q(z)+r(z).

Voorbeeld

Deel z^2-1 door z-1:

\begin{array}{llll} z-1 & / & z^2\phantom{-z\;}-1 & \backslash z+1\\ & & \underline{z^2-z\phantom{--\;}} & \\ & & \phantom{2z^3-}z-1 & \\ & & \phantom{2z^3-}\underline{z-1} & \\ & & \phantom{2z^3-z}0 & \end{array}
In dit geval is de rest 0. We zeggen dat de deling opgaat. Dat is op zich niet vreemd, er geldt immers z^2-1=(z+1)(z-1).

Voorbeeld

Als je een polynoom p(z) deelt door een polynoom waarvan de graad groter is dan de graad van p(z) stokt het algoritme direct. We spreken dan af dat het quotiënt 0 is, en de rest is p(z).