TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Het uitdelen van factoren

Het is duidelijk dat als je en polynoom p(z) kunt schrijven als een product in de vorm

p(z)=(z-\alpha)q(z)
met q(z) een ander polynoom, dat \alpha een nulpunt is van p(z). Vul maar \alpha in in p(z):
p(\alpha)=(\alpha-\alpha)q(\alpha)=0\cdot q(\alpha)=0.
Het omgekeerde is echter ook waar:
Als \alpha een nulpunt is van het polynoom p(z), dan is er een polynoom q(z) zodat
p(z)=(z-\alpha)q(z).
We zeggen dan dat je de factor z-\alpha uit het polynoom p(z) hebt gedeeld.

Het principe van uitdelen berust eigenlijk op de staartdeling. Als je een staartdeling maakt waarbij je p(z) deelt door z-\alpha krijg je een quotiënt q(z) en een rest r(z). Deze rest r(z) is óf 0, óf een polynoom met graad kleiner dan de graad van x-\alpha. Aangezien de graad van z-\alpha gelijk is aan 1, is r(z) dus een constant polynoom, oftewel

p(z)=(z-\alpha)q(z)+c
voor zeker complex getal c. Door \alpha in te vullen zie je dat c gelijk moet zijn aan nul.

Met behulp van uitdelen kun je de ontbinding van polynomen bepalen. We demonstreren dit aan de hand van een voorbeeld. Bekijk het derdegraads polynoom z^3-2z^2+1. Je ziet eenvoudig dat 1 een nulpunt van dit polynoom is. Dit betekent dat er een (tweedegraads) polynoom q(z) bestaat zodat z^3-2z^2+1=(z-1)q(z). Het polynoom q(z) vind je door een staartdeling uit te voeren:

\begin{array}{llll} z-1 & / & z^3-2z^2\phantom{+z\;}+1 & \backslash z^2-z-1\\ & & \underline{z^3-z^2\phantom{+Z++}} & \\ & & \phantom{z^3\;}-z^2\phantom{+z\;}+1 & \\ & & \phantom{z^3-}\underline{-z^2+z\phantom{++}} & \\ & & \phantom{z^3-z^2\;}-z+1 & \\ & & \phantom{z^3-z^2-}\underline{-z+1} & \\ & & \phantom{z^3-z^2-z}0 & \end{array}
Dus q(z)=z^2-z-1. Dit is een kwadratisch polynoom, waarvan je de nulpunten kunt bepalen met de abc-formule:
z=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}=\frac{1}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{5}.
De ontbinding in lineaire factoren van q(z) is dus
q(z)=(z-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5})(z-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{5}),
en de ontbinding van p(z) is dus
p(z)=z^3-2z^2+1=(z-1)q(z)=(z-1)(z-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5})(z-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{5}).
Voorbeeld

Beschouw de vergelijking z^4-2z^3+2z^2-z+1=0. Na enig zoeken vind je de wortel z=1. Deel de factor (z-1) uit:

\begin{array}{llll} z-1 & / & z^4-2z^3+2z^2-2z+1 & \backslash z^3-z^2+z-1\\ & & \underline{z^4-z^3} & \\ & & \phantom{z^4\;}-z^3+2z^2 & \\ & & \phantom{z^4-}\underline{-z^3+z^2} & \\ & & \phantom{z^4-2z^3+}z^2-2z & \\ & & \phantom{z^4-2z^3+}\underline{z^2-\;z} & \\ & & \phantom{z^4-2z^3+z^2}-z+1 & \\ & & \phantom{z^4-2z^3+2z^2}\underline{-z+1} & \\ & & \phantom{z^3-2z^3+2z^2-z}0 & \end{array}
Dus z^4-2z^3+2z^2-2z+1=(z-1)(z^3-z^2+z-1)

Van het quotiënt z^3-z^2+z-1 is 1 weer een nulpunt, en we delen nog een keer de factor z-1 uit:

\begin{array}{llll} z-1 & / & z^3-z^2+z-1 & \backslash z^2+1\\ & & \underline{z^3-z^2\phantom{+z-1}} & \\ & & \phantom{z^3-z^2+\;}z-1 & \\ & & \phantom{z^3-z^2+\;}\underline{z-1} & \\ & & \phantom{z^3-z^2+z\;}0 & \end{array}
Dus z^3-z^2+z-1=(z-1)(z^2+1).

Tenslotte ontbinden we z^2+1:

z^2+1=(z-i)(z+i)

Als we alles combineren krijg je als eindresultaat de ontbinding van z^4-2z^3+2z^2- z+1 in lineaire factoren:

z^4-2z^3+2z^2- z+1=(z-1)(z-1)(z-i)(z+i),
wat je meestal schrijft als
z^4-2z^3+2z^2- z+1=(z-1)^2(z-i)(z+i).