TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

De formules van Cardano

De formule van Cardano geeft een algemene oplossing voor de derdegraadsvergelijking

az^3+bz^2+cz+d=0,
met a, b, c en d complexe getallen en a\neq0. De vergelijking wordt eerst gereduceerd door de constante p en q als volgt te definiëren:
p=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2}
en
q=\frac{d}{a}+\frac{2b^3-9abc}{27a^3}.
Een oplossing van de vergelijking wordt nu gegeven door
z=-\frac{b}{3a}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}}}+ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}}}.
Deze formule is afkomstig van Nicolo Tartaglia (1500-1557), maar is desondanks bekend als de formule van Cardano (1501-1576). Overigens werde in de zestiende eeuw alleen polynomen met reële coëfficiënten bestudeerd.

Bovenstaande formule is eigenlijk niet volledig. Ergens in de afleiding moet een vergelijking van het type "u^3=w" worden opgelost, en dit betekent dat er drie complexe oplossingen moeten verschijnen. In Tartaglia's tijd kende men nog geen complexe getallen, dus hij schreef alleen de (ogenschijnlijk) reële oplossing u=\sqrt[3]{w} op. Afgezien daarvan kunnen ook in Tartaglia's formule complexe getallen optreden (bijvoorbeeld als \frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4} negatief is. De formule van Cardano is de feitelijke aanleiding geweest voor de ontdekking van de complexe getallen.

Een betere formulering van de formule van Cardano luidt:

z_k=-\frac{b}{3a}+\rho^k\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}}}+ \rho^{-k}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}}}.
waarbij k=0, 1 if 2, en waarbij \rho=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\sqrt{3}=\cos(2\pi/3)+i\sin(2\pi/3), het complexe getal op de eenheidscirkel met argument 2\pi/3.

Voorbeeld

Bepaal de oplossingen van de vergelijking z^3-3z^2-84z-44=0.

Invullen in de formules voor p en q levert p=-87 en q=-130. Het getal onder het wortelteken is \frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}=-20164=-142^2. Dit getal is negatief, en de wortel hiervan is dus 142i of -142i. Het blijkt dat het niet uitmaakt welke je kiest. De formule van Cardano levert de oplossingen:

z_k=1+\rho^k\sqrt[3]{65+142i}+\rho^{-k}\sqrt[3]{65-142i}.
Hier zie je meteen wat het probleem is van de formule van Cardano: je moet zoek naar een complex getal u met de eigenschap u^3=65+142i. Een oplossing is u=5+2i. Alle oplossingen kun je schrijven als \rho^k(5+2i) met k=0, 1 of 2. Dit betekent dat alle oplossingen worden gegeven door
z_k = 1+\rho^k(5+2i)+\rho^{-k}(5-2i) = 1+\rho^k(5+2i)+\overline{\rho^k(5+2i)} = 1+2{\rm Re}(\rho^k(5+2i)).
Voor k=0 geeft dit
z_0=1+2\cdot 5=11.
Voor k=1 levert dit
z_1=1+2{\rm Re}((-\textstyle\frac{1}{2}+\textstyle\frac{1}{2}i\sqrt{3})(5+2i))= 1+2{\rm Re}(-\textstyle\frac{5}{2}-\sqrt{3})=-4-2\sqrt{3}.
Voor k=2 levert dit
z_2=1+2{\rm Re}((-\textstyle\frac{1}{2}-\textstyle\frac{1}{2}i\sqrt{3})(5+2i))= 1+2{\rm Re}(-\textstyle\frac{5}{2}+\sqrt{3})=-4+2\sqrt{3}.
Hiermee heb je de ontbinding bepaald van het polynoom z^3-3z^2-84z-44=0:
z^3-3z^2-84z-44=(z-1)(z+4-2\sqrt{3})(z+4-2\sqrt{3}).
Door in het rechterlid haakjes uit te werken kun je eenvoudig nagan dat de gelijkheid klopt.