TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

De Afgeleide

Beweeg de groene punt over de grafiek van f en laat de blauwe punt over de afgeleide lopen.

Als je in een auto rijdt, dan kun je elk moment op de teller de snelheid van de auto aflezen. Dit levert je de snelheid als functie van de tijd op.

Zo kun je ook aan elke functie een nieuwe functie toevoegen, die in een punt a de waarde van de afgeleide (als deze tenminste bestaat) aanneemt.

Definitie

Neem aan f is een functie gedefinieerd op een deelverzameling I van \mathbb{R}. Dan heet de functie f differentieerbaar op I als de functie f differentieerbaar is in elke a\in I

Als de functie f differentieerbaar is op I, dan noemen we de functie f' die aan elke a\in I de waarde f'(a) toekent de afgeleide van f.

We geven een lijst van bekende (differentieerbare) functies en hun afgeleiden:

functie f afgeleide f' restricties
x^n n x^{n-1} n\in \mathbb{R}, x\neq 0 \ \mathrm{als}\ n< 1
e^x e^x
a^x a^x\cdot \ln a a> 0
\ln x \frac{1}{x}
\sin x \cos x
\cos x -\sin x
\tan x \frac{1}{\cos^2 x} x\neq \pi/2 (mod \pi)
Voorbeeld

De functie f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} met f(x)=x^2 voor alle x\in \mathbb{R} is differentieerbaar in elke a\in \mathbb{R}. Immers,

\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(a+h)^2-a^2}{h}=
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2ah+h^2}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}2a+h=2a.
De afgeleide van f is de functie f':\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} met
f'(x)=2x.

Voorbeeld

De standaardlimiet

\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\sin(h)-\sin(0)}{h}=1
laat zien dat de functie \sin differentieerbaar is in het punt 0. De afgeleide van de sinus in 0 is gelijk aan 1.

Voorbeeld

De functie |\cdot | met x\rightarrow |x| is niet differentieerbaar in 0. Immers, de limiet voor h nadert tot nul van |h|/h bestaat niet. Als h< 0, dan is het quotiënt |h|/h gelijk aan -1, als h> 0 gelijk aan 1. Het quotiënt nadert niet een vaste waarde.