TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Hol, bol en buigpunten

De functie ax^3+bx^2+cx+d (blauw), met afgeleide (rood) en dubbele afgeleide (turqoise). Bij een buigpunt van f hoort een extreme waarde van f' en een nulpunt van f''.

Stel I is een open interval en a< b\in I. Als de functie f op een interval I steeds sterker stijgt, dan is het lijnstuk tussen A=(a,f(a)) en B=(b,(f(b)) boven de grafiek van f. De grafiek van f is dan hol (of concaaf) op I.

Als f differentieerbaar is, dan stijgt de afgeleide f' op I en heeft f' (als ze tenminste differentieerbaar is) een positieve afgeleide (f')'=f''. Zo vind je:

De functie heet bol (of convex) op I als voor alle a< b\in I geldt dat het lijnstuk tussen A=(a,f(a)) en B=(b,(f(b)) onder de grafiek van f ligt.

Voor een bolle functie geldt dat de dubbele afgeleide (f')'=f'' negatief is.

Definitie

Een punt op de grafiek van f waarin de grafiek overgaat van hol naar bol of omgekeerd, noemen we een buigpunt.

Stelling

Als f een tweemaal differentieerbare functie is op een open interval I en f heeft een buigpunt in x=a, dan heeft f' een extremum in a en geldt f''(a)=0.

Voorbeeld

Bij x=0 verandert de functie van bol naar hol.

Gegeven is de functie f met functievoorschrift f(x)=\frac{1}{2}x^3-24x+3. Onderzoek of de grafiek van deze functie een buigpunt heeft. Zo ja bereken de coördinaten ervan. Eerst differentiëren om de hellingsfunctie te bepalen: f'(x)=\frac{3}{2}x^2-24. Vervolgens deze afgeleide nog eens differentiëren: f''(x)=3x.

Deze tweede afgeleide geeft informatie over het stijgen of dalen van de helling. Bij x=0 gaat de afgeleide f' over van dalend naar stijgend. De functie f verandert daar dus van bol naar hol.

In x=0 heeft de functie f een buigpunt.

Voorbeeld

Als voor een functie f geldt dat f''(a)=0, dan heeft de functie niet noodzakelijkerwijs een buigpunt in a.

Neem als voorbeeld de functie f(x)=x^4. dan is de tweede afgeleide van f gelijk aan f''(x)=12x^2. Deze tweede afgeleide heeft een nulpunt bij x=0. Maar het punt (0,0) is geen buigpunt. De grafiek van f is overal hol.