TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Differentieerbaarheid

Om de gemiddelde snelheid te berekenen van een wielrenner die een tijdrit rijdt, kun je het differentiequotiënt gebruiken. Als je nu de gemiddelde snelheid op een tijdsinterval van tijd t tot tijd t+h berekent, waarbij h heel klein is, dan benader je daarmee de snelheid van de wielrenner op het tijdstip t.

Laat je de lengte h van het tijdsinterval naar 0 gaan, dan zal de gemiddelde snelheid op het interval naar de snelheid op het tijdstip t gaan.

Op deze wijze kun je ook de stijging van een functie in een punt a berekenen. Je bepaalt de differentieqotiënten op de intervallen van a tot a+h, waarbij je h tot 0 laat naderen. Als de differentieqotiënten dan naar een vast waarde convergeren, levert je dit de stijging van f in a.

Definitie

Neem aan f is een functie gedefinieerd op een open interval I. Dan heet de functie f differentieerbaar in het punt a\in I als de limiet

\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
bestaat. De waarde van deze limiet is dan de afgeleide van f in a. Notatie:
f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

De afgeleide van een functie f in een punt a (als deze bestaat) geeft de stijging of daling van de functie in het punt weer.

Voorbeeld

De functie f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} met f(x)=x^2 voor alle x\in \mathbb{R} is differentieerbaar in elke a\in \mathbb{R}. Immers,

\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(a+h)^2-a^2}{h}=
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2ah+h^2}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}2a+h=2a.

Voorbeeld

De standaardlimiet

\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\sin(h)-\sin(0)}{h}=1
laat zien dat de functie \sin differentieerbaar is in het punt 0. De afgeleide van de sinus in 0 is gelijk aan 1.

Voorbeeld

De functie |\cdot | met x\rightarrow |x| is niet differentieerbaar in 0. Immers, de limiet voor h nadert tot nul van |h|/h bestaat niet.

Voorbeeld

Een auto trekt op. De afstand (in m/s) die de auto na t seconden afgelegd heeft, is gelijk aan 1,2 t^2.

De gemiddelde snelheid van de vrachtauto in de eerste 10 seconden is gelijk aan \frac{1,2\cdot 10^2}{10}=12 m/s, oftewel 43,4 km/uur.

De snelheid na 10 seconden is gelijk aan

\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1,2\cdot(10+h)^2-1,2\cdot(10)^2}{h}= \lim_{h\rightarrow 0} 1,2\cdot \frac{(20+h)(h)}{h}=24.
De auto heeft na 10 seconden dus een snelheid van 86 km/uur.