Het differentiequotiënt

Beweeg de punten A en B over de grafiek en bepaal het differentiequotiënt.

Een wielrenner rijdt een tijdrit over een afstand van 18 km in 24 minuten. Zijn gemiddelde snelheid is dan

\frac{18\ \mathrm{km}}{4/10\ \mathrm{uur}}=45 \mathrm{km/uur}.

Er zijn twee meetpunten op het parcours, de eerste na 5 km, de tweede na 12 km. Tussen de twee waarnemingen zit 9 minuten. Dan is de gemiddelde snelheid tussen de twee meetpunten gelijk aan

\frac{12-5\ \mathrm{km}}{3/20\ \mathrm{uur}}\approx 46,7 \mathrm{km/uur}

Op gelijke wijze kunnen we voor een willekeurige functie f de gemiddelde stijging (of daling) op een interval berekenen.

Zij I\subseteq \mathbb{R} een interval binnen het domein van de functie f.

Definitie

Voor a< b\in I is \Delta f(a,b):= f(b)-f(a) en \Delta x:=b-a.

Het differentiequotiënt \frac{\Delta f}{\Delta x}(a,b) is gedefinieerd als

\frac{\Delta f}{\Delta x}(a,b)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}. Het differentiequotiënt geeft de gemiddelde stijging (of daling) van f tussen de punten a en b.

Vaak wordt, als de punten a en b gegeven zijn het differentiequotiënt tussen a en b geschreven als \frac{\Delta f}{\Delta x}, zonder vermelding van a en b.

Voorbeeld

Als f een lineaire functie is, bijvoorbeeld

f(x)=3x+7, dan is het differetiequotiënt constant. Het is gelijk aan de richtingscoëfficient van de rechte y=f(x). In dit geval dus gelijk aan 3.

Inderdaad, voor alle a< b geldt

\frac{\Delta f}{\Delta x}(a,b)=\frac{(3b+7)-(3a+7)}{b-a}=\frac{3(b-a)}{b-a}=3.

Voorbeeld

Stel f(x)=x^2-3x+2. Dan is

\frac{\Delta f}{\Delta x}(0,2)=\frac{f(2)-f(0)}{2-0}=\frac{0-2}{2-0}=-1.