TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Differentieerregels

Neem aan dat f en g twee differentieerbare functies zijn

Stelling

Neem aan dat f en g twee differentieerbare functies op het open interval I zijn en c\in \mathbb{R}.

Dan zijn de volgende functies ook differentieerbaar op I met de bijbehorende afgeleide als aangegeven.

Functie AfgeleideNaam
c\cdot f c\cdot f'constanteregel
f+g f'+g' somregel
f\cdot g f'\cdot g+ f\cdot g'productregel
\frac{1}{f} \frac{-f'}{f^2} quotiëntregel

Merk dat de eerste regel een speciaal geval van de productregel is.

Inderdaad, als we voor g de functie nemen met g(x)=c voor alle x, dan is g'(x)=0. Vullen we dit in in de productregel, dan vinden we

(c\cdot f)'(x)= (g(x)f(x))'=(f'(x)\cdot g(x)+f(x)g'(x)= f'(x)\cdot c+0=cf'(x).

Ook de quotiëntregel volgt uit de productregel. Om dit in te zien gebruik je dat

f(x)\cdot \frac{1}{f(x)}=1.
De afgeleide van de constante 1 is gelijk aan 0, de afgeleide van de linkerkant kun je met behulp van de productregel bepalen:
(f(x)\cdot \frac{1}{f(x)})'=f'(x)\frac{1}{f(x)}+f(x)(\frac{1}{f(x)})'=0.
Hieruit volgt
(\frac{1}{f(x)})'=\frac{-f'(x)}{f(x)^2}.

De somregel kun je eenvoudig uit de definitei van afgeleide afleiden. Hier volgt een bewijs van de productregel.

Bekijk het differentiequotiënt

\frac{f\cdot g(a+h)- f\cdot g(a)}{h}=\frac{f(a+h)\cdot g(a+h)-f(a)\cdot g(a).}{h}
Dit kunnen we herschrijven tot
\frac{(f(a+h)-f(a))g(a+h) +f(a)(g(a+h)-g(a))}{h}=
g(a+h)\cdot\frac{f(a+h)-f(a)}{h}+f(a)\cdot \frac{g(a+h)-g(a)}{h}.
Lat je nu h tot 0 naderen, dan vind je
(f\cdot g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a).

Voorbeeld

Je kent de standaardregel dat voor de afgeleide f' van de functie f met f(x)=x^n voor alle x\in \mathbb{R} geldt dat f'(x)=nx^{n-1}.

Met behulp van de som- en productregel kun je nu ook de afgeleide van een willekeurige veeltermfunctie bepalen.

Inderdaad, als voor de functie f geldt dat

f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0
voor alle x, dan geldt voor de afgeleide
f'(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+2a_2x+a_1.

Voorbeeld

De afgeleide van de functie f met

f(x)=x\cdot \sin(x)+x^2
kunnen we in een aantal stappen bepalen.

De afgeleide van x\sin(x) bepalen we met de productregel. Dit levert x\sin(x)+1\cdot \cos(x).

De afgeleide van x^2 is 2x.

Volgens de somregel vinden we dus

f'(x)=x\cos(x)+\sin(x)+2x.

Voorbeeld

De afgeleide van \cos^2(x) is (met behulp van de productregel) \cos(x)\sin(x)+\sin(x)\cos(x)=2\sin(x)\cos(x).

De afgeleide van \sin^2(x) is (met behulp van de productregel) -\cos(x)\sin(x)-\sin(x)\cos(x)=-2\sin(x)\cos(x).

De afgeleide van de functie f met f(x)=\cos^2(x)+\sin^2(x) is dus gelijk aan 0. Dit komt natuurlijk overeen met het feit dat f(x)=\cos^2(x)+\sin^2(x)=1 voor alle x.