TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Extrema

Als f een extremum in a heeft, dan is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het punt (a,f(a)) gelijk aan 0.

Stel f is een functie met domein D en a\in D.

Definitie

De functie f heeft een (globaal) maximum f(a) in a, als voor alle x\in D geldt dat f(x)\leq f(a).

De functie f heeft een (globaal) minimum f(a) in a, als voor alle x\in D geldt dat f(x)\geq f(a).

De functie f heeft een (lokaal) maximum f(a) in a, als er een open interval I_a rond a is, zo dat voor alle x\in I_a\setminus\{a\} geldt dat f(x)< f(a).

De functie f heeft een (lokaal) minimum f(a) in a, als er een open interval I_a rond a is, zo dat voor alle x\in I_a\setminus\{a\} geldt dat f(x)> f(a).

Een globaal of lokaal maximum of minimum noem je ook wel een extreme waarde of extremum van f.

Stel f is differentieerbaar op het open interval I en a\in I. Als f in het punt x=a een extreme waarde aanneemt, dan is f niet stijgend en niet dalend in a. Maar dat betekent:

Stelling

Stel f is differentieerbaar op het open interval I en a\in I. Als de functie f een extremum in a heeft, dan is f'(a)=0.

Merk op, dat f'(a)=0 niet impliceert dat f een extreme waarde in a heeft!

Voorbeeld

De functie f(x)=x^2-4x+7 heeft als afgeleide f'(x)=2x-4. De afgeleide is 0 in x=2. Hier kan de functie dus een extremum hebben.

Inderdaad, in x=2 neemt de functie de waarde 3 aan en dat is een absoluut minimum. Voor alle x\in\mathbb{R} geldt immers dat

f(x)=x^2-4x+7=(x-2)^2+3\geq 3
en gelijkheid komt alleen voor wanneer x=2.

Voorbeeld

f(x)=x^4-2x^2+4 met afgeleide f'(x)=4x^3-4x. De functie f heeft extreme waarden voor x=-1, x=1 en x=0.

De functie f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} met f(x)=x^4-2x^2+4 voor alle x\in \mathbb{R} is differentieerbaar. De afgeleide van f is de functie f' met

f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1).

De functie f' heeft 3 nulpunten, namelijk x=-1, x=0 en x=1. In x=-1 en x=1 heeft de functie f een lokaal minimum met waarde f(1)=f(-1)=3. In x=0 heeft de functie een lokaal maximum met waarde f(0)=4.

De lokale minima zijn ook globale mimima, want voor alle x\in\mathbb{R} geldt

f(x)=x^4-2x^2+4=(x^2-1)^2+3\geq 3.

Voorbeeld

De grafiek van f(x)=x^3-3x^2+3x-1 met afgeleide f'(x)=3x^2-6x+3.

De functie f(x)=x^3-3x^2+3x-1 heeft als afgeleide f'(x)=3x^2-6x+3. Het enige nulpunt van f' is x=1. De functiewaarde f(1)=0 is echter geen extreme waarde voor f, want in elke open interval I rond 1 zitten elementen waar de functie f een negatieve waarde aanneemt en elementen waar f een positieve waarde aanneemt.

Inderdaad, neem een interval I rond 1 en een n\in \mathbb{N} met 1-\frac{1}{n} en 1+\frac{1}{n}\in I. Dan is f(1-\frac{1}{n})=\frac{-1}{n^3}< 0 en f( 1+\frac{1}{n})=\frac{1}{n^3}> 0.

De functie f heeft dus nergens een extreme waarde.

Voorbeeld

f heeft een maximum voor x=0.

Voor de functie f\mathbb{R}:\rightarrow\mathbb{R} geldt f(x)=e^x als x< 0 en f(x)=\frac{1}{1+x} als x> 0. Dan is f differentieerbaar in alle x\in\mathbb{R}\setminus{0}.

De afgeleide van f in x\neq 0 is gelijk aan e^x als x< 0 en \frac{-1}{(x+1)^2} voor x> 0.

Je ziet, f' heeft geen nulpunten. Dat betekent echter nog niet dat f nergens een extremum heeft. Inderdaad, in x=0 neemt f zelfs een absoluut maximum aan. Er geldt immers e^x< 1 voor alle x< 0 en evenzo \frac{1}{x+1}< 1 voor alle x> 0.