TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Differentieerregels

Stel f en g zijn twee functies en h=f\circ g, d.w.z,

h(x)=f(g(x)).
Dan geldt voor het differentiequotiënt
\frac{\Delta h}{\Delta x}(a,b)=
\frac{f(g(b))-f(g(a))}{b-a}=
\frac{f(g(b))-f(g(a))}{g(b)-g(a)}\cdot \frac{g(b)-g(a)}{b-a}=
\frac{\Delta f}{\Delta x}(g(a),g(b))\cdot \frac{\Delta g}{\Delta x}(a,b)

Hieruit volgt:

Stelling (Kettingregel)

Neem aan dat f en g twee differentieerbare functies zijn.

Dan is de functie f\circ g met f\circ g(x)=f(g(x)) ook differentieerbaar en voor de afgeleide (f\circ g)' geldt

(f\circ g)'(x)=f'(g(x)\cdot g'(x).

Stel f is een differentieerbare functie met (eveneens differentieerbare) inverse g. dan geldt (f\circ g)(x)=x voor alle x. Passen we nu de kettingregel toe, dan vinden we

f'(g(x))g'(x)=1.
Hieruit volgt:

Stelling

Stel f is een differentieerbare functie met (eveneens differentieerbare) inverse g, dan geldt

g'(x)=\frac{1}{f'(g(x))}.

Voorbeeld

De functie f met f(x)=\cos(x^3) heeft als afgeleide

f'(x)=-\sin(x^3)\cdot 3x^2.

Voorbeeld

De functie f met f(x)=\ln(x^2+x) heeft als afgeleide

f'(x)=\frac{1}{x^2+x}\cdot (2x+1).

Voorbeeld

De functie f met f(x)=x^3 heeft als inverse g met g(x)=\sqrt[3]{x}. Nu geldt

g'(x)=\frac{1}{f'(g(x))}=
\frac{1}{3(g(x))^2}=
\frac{1}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{x}^2}=\frac{1}{3}x^{-2/3}.

Voorbeeld

Zij f(x)=\sin(x) en g(x)=\arcsin(x) de inverse functie van f op het interval [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}). Dan geldt

g'(x)=\frac{1}{\cos(\arcsin(x))}.
Dit kun je ok nog anders schrijven.

Er geldt

1=\cos^2(\arcsin(x))+\sin^2(\arcsin(x))=\cos^2(\arcsin(x))+x^2.
Hieruit volgt dat \cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2}. Dus
g'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Vind zelf een formule voor de afgeleide van \arccos.