TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Raaklijn en afgeleide

De lijn door de punt A=(a,f(a)) en B=(b,f(B)) nadert de raaklijn als B het punt A nadert. Vergelijk het differentiequotiënt met de richtingscoëfficiënt van de raaklijn.

Zij I\subseteq \mathbb{R} een open interval, en f:I\rightarrow \mathbb{R} een differentieerbare functie. Neem aan dat a en b=a+h twee punten in I zijn. Het differentiequotiënt

\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
geeft dan de richtingscoefficiënt van de lijn door de punten (a,f(a)) en (b,f(b)) op de grafiek van f.

Het differentiequotiënt geeft de gemiddelde stijging (of daling) van f op het interval van a tot b aan.

Als h nu 0 nadert (en dus b het getal a nadert), dan nadert dit differentiequotiënt de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (a,f(a)).

Deze richtingscoëfficiënt geeft de stijging `in het punt a' aan en is dus gelijk aan de afgeleide van f in het punt x=a.

Stelling

De afgeleide f'(a) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (a,f(a))

De vergelijking van de raaklijn is

y=f'(a)(x-a)+f(a).

Voorbeeld

De functie f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} met f(x)=x^2 voor alle x\in \mathbb{R} is differentieerbaar in elke a\in \mathbb{R}. Immers,

\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(a+h)^2-a^2}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2ah+h^2}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}2a+h=2a.
De raaklijn aan de grafiek van f in het punt (2,4) heeft dus als vergelijking y=4(x-2)+4=4x-4.

Voorbeeld

De raaklijn aan 2x^3-x+3 in x=1.

De functie f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} met f(x)=2x^3-x+3 voor alle x\in \mathbb{R} is differentieerbaar in a=1. Immers als je het differentiequotiënt

\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{2x^3-x+3-4}{x-1}=\frac{2x^3-x-1}{x-1}=2x^2+2x+1
bekijkt, dan zie je dat dit quotiënt 2 nadert, als x tot 1 nadert. Dus
f'(1)=5.

Hieruit leid je af dat de raaklijn aan de grafiek in x=1 de vergelijking

y= 5x+c
heeft voor zeker constante c. Aangezien (1,f(1))=(1,4) op deze lijn ligt, vind je dat c=-1. De raaklijn aan de grafiek heeft dus de vergelijking
y=5x-1.