TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Raaklijn en afgeleide

De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is positief (negatief) dan stijgt (daalt) de functie.}

Stel I is een interval en f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} een functie op I.

Definitie

De functie f heet (monotoon) stijgend (resp. niet-dalend) op I als voor alle a< b\in I geldt dat f(a)< f(b) (resp. f(a)\leq f(b)).

De functie f heet (monotoon) dalend (resp. niet-stijgend)op I als voor alle a> b\in I geldt dat f(a) > f(b) (resp. f(a)\geq f(b)).

Het bijvoegelijk naamwoord 'monotoon' wordt vaak weggelaten.

Als een functie f stijgend of niet-dalend en differentieerbaar is op een open interval I, dan neemt elk differentiequotiënt \frac{\Delta f}{\Delta x} op I een waarde groter of gelijk aan 0 aan. Maar dan is de afgeleide f'(a) in elk punt a van I niet negatief.

Omgekeerd (maar moeilijker te bewijzen) geldt ook:

Stelling

Als f differentieerbaar is op het open interval I. Dan geldt het volgende:

Als f'(x)> 0 voor alle x\in I, dan is f stijgend op I.

Als f'(x)< 0 voor alle x\in I, dan is f stijgend op I.

Voorbeeld

De functie f(x)=x^2-4x+7 heeft als afgeleide f'(x)=2x-4. De afgeleide is positief op het interval \langle -\infty , 2\rangle en positief op (2,\infty\rangle. Dat betekent dat de functie dalend is op het interval \langle -\infty , 2\rangle en stijgend op (2,\infty\rangle. In het punt x=2 verandert de functie van een dalende in een stijgende functie.

Voorbeeld

f(x)=x^4-2x^2+4 met afgeleide f'(x)=4x^3-4x.

De functie f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} met f(x)=x^4-2x^2+4 voor alle x\in \mathbb{R} is differentieerbaar. De afgeleide van f is de functie f' met

f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1).

De functie f' heeft 3 nulpunten, namelijk x=-1, x=0 en x=1, en is negatief op de intervallen \langle -\infty,-1\rangle en \langle 0,1\rangle en positief op \langle -1,0\rangle en \langle 1, \infty\rangle.

Hieruit leid je af dat f dalend is op \langle -\infty,-1\rangle en \langle 0,1\rangle en stijgend op \langle -1,0\rangle en \langle 1, \infty\rangle.