TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

De functie e^x en de natuurlijke logaritme

De grafiek van e^x.
Definitie

De grafiek van de exponentiële functie f(x)=a^x gaat door het punt (0,1). De raaklijn aan de grafiek van f in dat punt is van de vorm y=px+1 voor zekere p. De waarde van p hangt van a af.

Er is precies één waarde van a waarvoor p=1. Deze waarde noemen we e. Dit getal is geen rationaal getal. Een decimale benadering is e\approx2.71828182845904\ldots.

De functie e^x wordt vaak de exponentiële functie genoemd.

De logaritme met grondtal e is de inverse van e^x. Deze logaritme heet de natuurlijke logaritme, en wordt genoteerd als \ln(x).

Rekenregels

e^{\ln(x)}=x

\ln(e^x)=x

\ln(e)=1

Voorbeeld

Los op 4\ln (x)=2.

Als 4\ln x=2, dan is \ln x=\frac{1}{2}=\ln (e^{1/2}. Dus x=e^{1/2}=\sqrt{e}.

Voorbeeld

Bepaal x als geldt dat 4e^{2x-1}=8.

Stel 4e^{2x-1}=8. Dan geldt e^{2x-1}=2=e^{\ln 2}. Dus 2x-1=\ln 2 waaruit volgt dat x=\frac{1}{2}(1+\ln 2).

Voorbeeld

Als \ln x=3+\ln 7, dan is \ln x-\ln 7=3. Dus \ln \frac{x}{7}=3=\ln e^3.

Maar dan is \frac{x}{7}=e^3 en x=7e^3.