TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Exponentiële functies

Definitie

De functie f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} met als functievoorschrift

f(x)=a^x
heet een exponentiële functie. Het getal a heet het grondtal, en is positief.

De grafiek van een exponentiële functie.
Eigenschappen Exponentiële functies zijn positief. Afhankelijk van de waarde van het grondtal zijn exponentiële functies monotoon stijgend, monotoon dalend of constant.

Als a>1, dan is f(x) monotoon stijgend. Als x naar \infty gaat, gaat f(x) ook naar \infty. Als x naar -\infty gaat, nadert f(x) naar 0.

Als a=1, dan is f(x) de constante functie 1.

Als a<1, dan is f(x) monotoon dalend. Als x naar \infty gaat, nadert f(x) naar 0. Als x naar -\infty gaat, gaat f(x) ook naar \infty.

De grafieken van de exponentiële functies a^x en \left(\frac{1}{a}\right)^x zijn gespiegeld ten opzichte van de y-as.

Rekenregels

a^0=1

a^x a^y=a^{x+y}

\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}

a^{-x}=\frac{1}{a^x}

\left(a^x\right)^y=a^{xy}

a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}

(ab)^x=a^x b^x

Voorbeeld

Gegeven is de functie f met voorschrift f(x)=2^x-1/4.

Deze functie is stijgend. De grafiek van f snijdt de x-as in een uniek punt (a,0). Voor deze a geldt

2^a=\frac{1}{4}=2^{-2},
waaruit direct volgt dat a=-2.

Voorbeeld

Voor welke x is de functie f gegeven door

f(x)= (\frac{1}{2})^{2x}-4^{x+3}
positief?

Eerst bepaal je de nulpunten van f. Als f(x)=0, dan geldt voor deze x dat

(\frac{1}{2})^x=4^{x+3}.
Hieruit volgt dat
2^{-x}=2^{2(x+3)}
en dus -x=2x+6. Je vindt x=-2.

Voor x> -2 is f(x)< 0, voor x< -2 is f(x)> 0.

Voorbeeld

Wat zijn de nulpunten van de functie

f(x)=3^{2x}-4\cdot 3^x+3?

Stel 3^{2x}-4\cdot 3^x+3=0, dan geldt voor a=3^x dat a^2-4a+3=(a-1)(a-3)=0. Dus a=3^x=1 of a=3^x=3. Maar dan is x=0 of x=1.