TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Exponentiële groei en afname

Exponentiële groei en afname

Bij een grootheid spreek je van exponentiële groei als de toe- of afname van de grootheid, als functie van de tijd, evenredig is met de grootheid zelf. Omdat een dergelijke grootheid meestal van de tijd afhangt, noteer je zo'n grootheid met f(t) in plaats van f(x). Grootheden die exponentieel groeien, voldoen aan het volgende functievoorschrift:

f(t)=ca^t
met c een of andere constante. De groei van f is gelijk aan de afgeleide, dus
f^\prime(t)=c\ln(a)a^t=\ln(a)ca^t=\ln(a)f(t).
De afgeleide van f is dus evenredig met f zelf, en dus is er sprake van exponentiële groei.

De constante c is eenvoudig te bepalen door t=0 te kiezen:

f(0)=ca^0=c\cdot1=c,
dus c is gelijk aan de grootheid op tijstip 0. We kunnen een exponentieel groeiende grootheid dus ook als volgt beschrijven:
f(t)=f(0)a^t.

Of er sprake is van groei of afname hangt af van de waarde van het grondtal a. Als a>1 is er sprake van exponentiële groei. (De functie f is stijgend!) Als a<1 is er sprake van exponentiële afname. (De functie f is dalend!) Men spreekt ook wel van verval. Om niet steeds groei of verval te moeten zeggen, wordt de term exponentiële groei ook gebruikt als er feitelijk sprake is van verval.

Als iets exponentiële groeit, gaat de groei zeer snel. Dit kun je aflezen uit de volgende limiet:

\lim_{t\rightarrow \infty} \frac{t^n}{a^t}=0
voor a> 1 en n\in \mathbb{N}.

Dit betekent dat (bij vaste n) voor grote t de waarde van a^t veel groter wordt dan de waarde van t^n.

Voor de logaritme vinden we dan juist het omgekeerde:

\lim_{t\rightarrow\infty} \frac{^a\log(t)}{t^n}=0
voor a> 1 en n\in \mathbb{N}.

Verdubbelingstijd en halfwaardetijd

De verdubbelingstijd is de tijd die nodig is om de grootheid twee keer zo groot te laten worden. Voor de verdubbelingstijd \lambda moet dus gelden

f(t+\lambda)=2f(t).
Een karakteristieke eigenschap van exponentieel groeiende grootheden is dat de verdubbelingstijd niet afhangt van het tijdstip waarop je begint met meten. In een kweekschaaltje wordt de hoeveelheid bactieriën Escherichia coli (beter bekend als E. coli) beschreven met
f(t)=10^8\cdot0.96^t.
De tijd t wordt hierbij gemeten in minuten. Voor de verdubbelingstijd geldt
f(t+\lambda)=2f(t)=2\cdot10^8\cdot0.96^t,
maar ook
f(t+\lambda)=10^8\cdot0.96^{t+\lambda}=10^8\cdot0.96^t\cdot0.96^\lambda.
Je moet dus de vergelijking
10^8\cdot0.96^t.96^\lambda=2\cdot10^8\cdot0.96^t
oplossen. Door linker en rechterlid te delen door 10^8\cdot0.96^t krijg je
0.96^\lambda=2.
Dit levert
\lambda\approx16.97\quad\mbox{minuten}.
Met andere woorden: in een kweekschaal en onder ideale omstandigheden verdubbelt het aantal E. coli bactieriën iedere 17 minuten.

De algemene formule voor de verdubbelingstijd \lambda is

\lambda={}^a\log(2).

De grootheid zelf kun je ook met behulp van \lambda beschrijven:

f(t)=f(0)a^t=f(0)a^{\lambda\frac{t}{\lambda}}=f(0)\left(a^{\lambda}\right)^{\frac{t}{\lambda}}= f(0)2^{\frac{t}{\lambda}}.

Bij exponentieel verval (a<1) gebruik je voor \lambda niet de verdubbelingstijd, maar de halfwaardetijd (Engels: half-life):

f(t+\lambda)=\textstyle\frac{1}{2}f(t).

De algemene formule voor de halfwaardetijd \lambda is

\lambda=-{}^a\log(2).

Een alternatieve beschrijving van de grootheid is

f(t)=f(0)\textstyle\frac{1}{2}^{\frac{t}{\lambda}}.

Voorbeeld

Een voorbeeld van exponentiële groei is het aantal bacteriën in een kweekschaaltje. Zolang er voldoende voedsel is zal het aantal bacteriën exponentieel groeien. Een ander voorbeeld is de spanning in een condensator die langzaam leegloopt via een weerstand die over de condensator is aangesloten. De spanning neemt exponentieel af. Nog een voorbeeld is de afbraak van medicijnen in het menselijk lichaam. De grootheid is in dit geval de concentratie van het medicijn in het bloed.

Voorbeeld

Bij het ongeluk met de kernractor in Tjernobyl in 1986 zijn grote hoeveelheden radioactief materiaal vrijgekomen, waaronder veel cesium 137. Dit isotoop wordt ook toegepast in ziekenhuizen voor bestraling. De halfwaardetijd van Cesium 137 is 30 jaar. Er zijn ook ook andere isotopen van cesium, zoals Cs 131 met een halfwaardtijd van 9.7 dagen en Cs 135, dat een halfwaardetijd heeft van 2.3 miljoen jaar.

Kun je berekenen hoe lang het duur voordat in Tsjernobyl nog maar 1 procent van het vrijgekomen radioactief materiaal cesium 137 over is?

Voor de hoeveelheid materiaal m(t) (met t in jaren) geldt

m(t)=m(0)\cdot 2 ^{t/30}.

Om nog maar \frac{1}{100}-ste deel van het oorspronkelijk vrijgekomen materiaalover te houden, moet gelden dat

2^{-t/30}=\frac{1}{100}.
Dat betekent dat
t=30\cdot ^2\log(100)\approx 200.
Dus na bijna 200 jaar, is nog steeds 1 procent van het vrijgekomen radioactieve materiaal in Tsjernobyl aanwezig.