Logaritmen

Definitie

De logaritme {}^a\log:\mathbb{R^+}\rightarrow\mathbb{R} is de inverse van de exponentiële functie f(x)=a^x. Het getal a heet het grondtal, en is positief. De getal y={}^a\log(x) is de oplossing van de vergelijking a^y=x (met onbekende y).

De grafiek van een logaritme x\rightarrow ^a\log(x).

Eigenschappen

De logaritme {}^a\log(x) is alleen gedefinieerd voor x>0. Afhankelijk van de waarde van het grondtal zijn logaritmen monotoon stijgend, monotoon dalend of constant.

Als a>1, dan is {}^a\log(x) monotoon stijgend. Als x naar \infty gaat, gaat {}^a\log(x) ook naar \infty. Als x naar 0 nadert, gaat {}^a\log(x) naar -\infty.

Als a=1, dan heeft de vergelijking a^y=x alleen oplossingen als x=1. In dat geval voldoet iedere waarde van y. De functie {}^1\log(x) is niet gedefinieerd.

Als a<1, dan is {}^a\log(x) monotoon dalend. Als x naar \infty gaat, nadert {}^a\log(x) naar -\infty. Als x naar 0 nadert, gaat {}^a\log(x) naar \infty.

De grafieken van de exponentiële functies {}^a\log(x) en {}^\frac{1}{a}\log(x) zijn gespiegeld ten opzichte van de x-as.

Rekenregels

a^{{}^a\log(x)}=x

{}^a\log(a^x)=x

{}^a\log(1)=0

{}^a\log(a)=1

{}^a\log(xy)={}^a\log(x)+{}^a\log(y)

{}^a\log\left(\frac{x}{y}\right)={}^a\log(x)-{}^a\log(y)

{}^a\log\left(\frac{1}{x}\right)=-{}^a\log(x)

{}^a\log(x^y)=y{}^a\log(x)

{}^a\log(x)=\frac{{}^b\log(x)}{{}^b\log(a)}

Voorbeeld

Vereenvoudig

^2\log(\sqrt{50}+7)+^2\log (\sqrt{50}-7).

Er geldt

^2\log(\sqrt{50}+7)+^2\log (\sqrt{50}-7)= ^2\log((\sqrt{50}+7)(\sqrt{50}-7))= ^2\log((\sqrt{50})^2-7^2)= ^2\log(50-49)= ^2\log(1)=0.

Voorbeeld

Voor welke x is ^3\log(x) groter dan -4?

Stel ^3\log(x)=4, dan geldt x=3^{-4}. De ^3\log is een stijgende functie, dus ^3\log(x)> -4 voor alle x> 3^{-4}=\frac{1}{81}.

Voorbeeld

Wanneer is ^5\log(2x+8) negatief?

Stel ^5\log(3x+8)=0, dan is ^5\log(3x+8)=^5\log(1) en vind je 2x+8=1 en x=\frac{-7}{2}.

Aangezien het domein van de ^5\log gelijk is aan \mathbb{R}^+, geldt dat 2x+8> 0 en dus x> -4.

Je concludeert dat ^5\log(2x+8) negatief is voor alle x met -4< x< \frac{-7}{2}.