TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Functies

Definitie

Stel A en B zijn twee verzamelingen. Een functie of afbeelding f van A naar B is een voorschrift dat aan elke a\in A een uniek element b\in B toekent. Dit element b wordt aangeduid met f(a) en de functiewaarde in a genoemd.

De verzameling A heet het domein van de functie, de verzameling B het codomein.

Een functie f van A naar B wordt ook wel aangeduid met

f:A\rightarrow B.

Bekende voorbeeden van functies van \mathbb{R} naar \mathbb{R} zijn bijvoorbeeld de functies f met voorschrift f(x)=x of met voorschrift f(x)=x^2.

Let op! In de definitie van functie wordt geeist, dat aan elk element uit A een functiewaarde wordt toegekent, maar niet elk element uit B hoeft een functiewaarde te zijn.

De verzameling van alle beelden, dat is de deelverzameling

\{ f(a)\mid a\in A\}
van B, is het beeld of bereik van f.

Als het element a op b=f(a) wordt afgebeeld, dan heet b het beeld van a en a het origineel van b.

Als het domein van de functie niet precies bekend is, of niet precies gedefinieerd hoeft te worden, maar wel een deelverzameling van A is, dan spreek je wel van een partiële functie van A naar B. Het domein van f is dan een deelverzameling van A.

Opmerking

In veel vwo-boeken wordt niet geeist, dat aan elk element uit A een functiewaarde wordt toegekend. Zo, zie je wel eens de wortelfunctie gedefinieerd als f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} met f(x)=\sqrt{x}.

Hier moet je eigenlijk schrijven f:\mathbb{R}_{\geq 0}\rightarrow \mathbb{R} met f(x)=\sqrt{x}, waarbij het domein \mathbb{R}_{\geq 0} de deelverzameling van \mathbb{R} is bestaande uit alle r\in \mathbb{R} met r\geq 0. Immers, voor x< 0 is de wortel \sqrt{x} niet gedefinieerd.

De grafiek van de functie f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} met f(x)=x^2.
Definitie

Een reële functie is een functie f:A\rightarrow B, waarbij A en B deelverzamelingen van \mathbb{R} zijn.

Opmerking

Een functie wordt vaak via het voorschrift gegeven. Met de functie f(x)=x^2 wordt bedoeld, de functie f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} met voor alle x\in \mathbb{R} als voorschrift f(x)=x^2.

Definitie

De grafiek van een functie f:A\rightarrow B is de verzameling

\{(a,f(a))\in A\times B\mid a\in A\}.

Als f een reële functie is, kun je (een deel) van de grafiek van een functie tekenen in het vlak \mathbb{R}^2.

Voorbeeld

Elke mens heeft een (biologische) vader en moeder. Je kunt dan ook de afbeelding definieren, die aan elk mens zijn of haar moeder toekent.

Omgekeerd kun je aan elke vrouw haar kinderen toevoegen. Dit levert echter geen afbeelding op. Want sommige vrouwen hebben geen kinderen (en kunnen dus niet in het domein van een mogelijke afbeelding zitten), andere hebben meerdere kinderen. Bij een afbeelding mag je maar één kind toekennen aan een moeder!

Voorbeeld

Welke deelverzameling is de grafiek van een functie?

In de figuur zie je drie deelverzamelingen van \mathbb{R} getekend.

De rode en blauwe verzamelingen zijn grafieken van functies, de groene echter niet. Want op de lijn x=1 zie je twee punten van de groene verzameling liggen. En in de grafiek van een functie f is er voor elke a uit het domein een unieke y met y=f(a). Dat betekent dat de lijn x=a de grafiek precies één keer snijdt.

Voorbeeld

Het benzineverbruik van een auto hangt af van de snelheid waarmee gereden wordt. Voor een bepaald type auto is onder vaste standaardcondities van weg en weersomstandigheden, het benzineverbruik een (partiële) functie van de snelheid. Omdat niet gespecificeerd is welke waarden van de snelheid beschouwd worden, weet je niet of het benzinevebruik voor al deze waarden bekend is. De auto zal sommige snelheden niet eens bereiken.

Voorbeeld

De functie f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} met functievoorschrift f(x)=3x+7 heeft als grafiek een rechte lijn door de punten (0,7) en (1,10).

Voorbeeld

De functie f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} met functievoorschrift f(x)=x^2-4 heeft al bereik de verzameling \{y\in \mathbb{R}\mid y\geq -4\}.