TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Injectief, surjectief en bijectief

Definitie

Stel A en B zijn twee verzamelingen.

Een functie f van A naar B heet surjectief als elk element b\in B in het beeld van f zit. Met andere woorden, als elk element b\in B gelijk is aan f(a) voor zekere a\in A.

Als f:A\rightarrow B een surjectieve afbeelding is, heeft elk element uit B minimaal één origineel.

Een functie f van A naar B heet injectief als elk element uit B het beeld is van ten hoogste één element uit A, oftwel, als elk element uit B ten hoogste één origineel heeft.

De functie f:A\rightarrow B is injectief als voor elke a,a'\in A geldt dat f(a)=f(a') impliceert dat a=a'.

Tot slot noemen we een functie f:A\rightarrow B bijectief als de functie zowel injectief als surjectief is. In dit geval is er voor elke b\in B precies één origineel a in A te vinden. Er is precies één a\in A met f(a)=b.

Voor een functie f:A\rightarrow B geldt dat ze surjectief is, als het bereik van f gelijk is aan B.

Opmerking

Bij elke functie f:A\rightarrow B kun je dan ook een surjectieve functie vinden, door het codomeim van f in te perken tot het beeld van f.

Als een functie f:A\rightarrow B bijectief is, dan bestaat bij elke b\in B een unieke a\in A met f(a)=b. De toekenning van deze a aan b levert een nieuwe functie op, die we aangeven met f^{-1}, de inverse van f.

Definitie

Bij een bijectieve afbeelding f:A\rightarrow B hoort een inverse afbeelding f^{-1}:B\rightarrow A met de eigenschappen

f^{-1}(f(a))=a
voor alle a\in A en
f(f^{-1}(b))=b
voor alle b\in B.

De afbeelding f^{-1}:B\rightarrow A is zelf ook bijectief en heeft f als inverse.

Voorbeeld

De functie f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} met als functievoorschrift f(x)=x^2 is niet surjectief. Immers, het element -1 uit het codomein zit niet in het beeld van f.

De functie f is ook niet injectief. Het element 1 uit het codomein is namelijk beeld van twee elementen uit het domein. Er geldt immmers f(-1)=1=f(1).

Voorbeeld

De verzameling \mathbb{R}_{\geq 0} is de verzameling van alle niet-negatieve reële getallen.

Bekijk de afbeelding f:\mathbb{R}_{\geq 0}\rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0} met als functievoorschrift f(x)=x^2. Deze afbeelding is surjectief. Immers, elk element uit het codomein is een kwadraat.

De functie f is ook injectief. Immers, als a_1,a_2\in \mathbb{R}_{\geq 0} met f(a_1)=f(a_2), dan geldt a_1^2=a_2^2 en dus a_1^2-a_2^2=(a_1-a_2)(a_1+a_2)=0. Hieruit volgt dat a_1=a_2.

Uit bovenstaande volgt dat f^{-1} bestaat. Voor alle x\in \mathbb{R}_{\geq 0} geldt f^{-1}(x)=\sqrt{x}.

Voorbeeld

De functie g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} met als functievoorschrift g(x)=x^3 is wel surjectief. Voor elke y uit het codomein \mathbb{R} is er een x te vinden, namelijk \sqrt[3]{y} met g(x)=y.

De functie g is ook injectief. Stel namelijk dat f(a)=f(b), dan geldt a^3=b^3. Je ziet eenvoudig dat a en b hetzelfde teken hebben. Maar dan volgt a^3=b^3 dat a^3-b^3=(a-b)\cdot (a^2+ab+b^2)=0 en dus a=b.

De functie g is dus bijectief en heeft een inverse. De inverse g^{-1} is de functie van \mathbb{R} naar \mathbb{R} met voorschrift g^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}.