TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Kwadratische functies

Stel a,b,c\in \mathbb{R} met a\neq 0.

Definitie

De functie f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} met als functievoorschrift

f(x)=ax^2+bx+c
heet een kwadratische of 2-de graads functie.

De grafiek van een kwadratische functie is een parabool, een dalparabool als a> 0 en een bergparabool als a< 0.

De grafiek van een kwadratische functie.
Nulpunten Willen je de nulpunten van f bepalen, dan splits je eerst een kwadraat af en stelt de functiewaarde gelijk aan 0:
f(x)=ax^2+bx+c=
a(x-\frac{b}{2a})^2-a(\frac{b}{2a})^2+c=0.
Hieruit leid je af dat
(x-\frac{b}{2a})^2=
(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}=
\frac{b^2-4ac}{(2a)^2}.
Deze vergelijking heeft geen oplossingen als b^2-4ac< 0, precies één oplossing als b^2-4ac=0, namelijk x=\frac{b}{2a} en twee oplossingen als b^2-4ac> 0, namelijk
x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
Maxima en Minima Kwadraat afsplitsen leert je ook waar de functie f een maximum dan wel minimum aanneemt. Als a> 0 ( of a< 0) dan is de grafiek van f een dalparabool (resp. begparabool). Voor de functie f geldt dat
f(x)=a(x-\frac{b}{2a})^2-a(\frac{b}{2a})^2+c
minimaal (resp. maximaal) is, als x=\frac{b}{2a}.
Voorbeeld

Bekijk de kwadratische functie f(x)=x^2-4x+3. Kwadraat afsplitsen levert f(x)=(x-2)^2-1. De functie f is dus minimaal als x=2. De minimale waarde die f aanneemt is dan f(2)=-1.

Als f(x)=0, dan geldt (x-2)^2-1=0. Dus x-2=\pm 1, oftewel x=2\pm 1. De nulpunten van f vinden we dus bij x=1 en x=3.

Voorbeeld

Zij f de functie gegeven door

f(x)= 8+2x-x^2.
Dan geldt
f(x)=-(x-1)^2+9.
De functie heeft dus bij x=1 een maximum met waarde 9.

De nulpunten van f voldoen aan

(x-1)^2=9.
Dus deze nulpunten vind je bij x=1-3=-2 en bij x=1+3=4.

Voorbeeld

Een keeper trapt, na een achterbal, de vanaf de 5 meter lijn weer het veld in. Hij geeft de bal een snelheid van 25 m/s. Onder welke hoek moet hij de bal het veld in schieten, om zover mogelijk te komen?

De baan van de bal. Verander de richting van de trap (via punt c) en volg het spoor van de bal.

Allereerst bereken we de hoogte van de bal. Uit de natuurkunde weten we dat de hoogte h van de bal, als functie van de tijd t, aan de volgende vergelijking voldoet:

h(t)=s_vt-\frac{1}{2}gt^2
Hierbij is s_v de snelheid die de bal in verticale richting meekrijgt, en g de valversnelling, die we voor het gemak op 10 m/s^2 stellen. De tijd t wordt ook in seconden gemeten.

Als de bal weer op de grond komt, is de hoogte natuurlijk gelijk aan 0. Dus het tijdstip T waarop de bal de grond raakt, voldoet aan

0=s_vT-5T^2
en
T=\frac{s_v}{5}

De afstand D in horizontale richting, die de bal aflegt in t seconden is gelijk aan

D(t)=s_ht
waarin s_h de snelheid is, die de bal in horizontale richting heeft.

Als de bal weer op de grond landt, heeft hij een afstand

D(T)=5s_hs_v
afgelegd.

Nu een trukje: Merk op dat D(T) maximaal is als 25^2-\frac{2}{5}D(T) minimaal is. Maar, 25^2-\frac{2}{5}D(T)=s_v^2+s_h^2-2s_hs_v=(s_v-s_h)^2 is minimaal 0 en deze waarde wordt aangenomen als s_v=s_h=\frac{5\sqrt{2}}{2} \frac{m}{s}.

Wil de keeper de bal zo ver mogelijk schoppen, dan moet hij de bal onder een hoek van 45^\circ wegschieten. De afstand die de bal dan aflegt, is gelijk aan 5\cdot (\frac{5\sqrt{2}}{2})^2=62,5 meter.