TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Rechte lijnen en lineaire functies

Een rechte lijn in het xy-vlak wordt gegeven door een lineaire vergelijking, dat is een vergelijking van de vorm

ax+by=c
waarin a,b en c\in \mathbb{R}.

De lijn door de punt A en B.

Als b\neq 0, dan kun je de vergelijking herschrijven tot

y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}.
De constante r=-\frac{a}{b} noem je de richtingscoëfficiënt van de rechte. De richtingscoëfficiënt r is een maat voor de stijging van de rechte. Immers, als (a_1,a_2) en (b_1,b_2) twee verschillende punten op de rechte zijn, dan is
r=\frac{a_2-b_2}{a_1-b_1}.
In woorden: de richtingscoëfficiënt r is de toename in de y-coördinaat gedeeld door de toename in de x-coördinaat.

Hieruit leid je af dat bij een toename h van x, de waarde van y met rh toeneemt.

Met behulp van de vergelijking

y=r x+s.
(waarbij s=\frac{c}{b}) kun je y zien als functie van x.

Een lineaire functie f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} is een functie met functievoorschrift

f(x)=rx+s,
waarbij r,s\in \mathbb{R}.

Voorbeeld

Door de twee punten A=(1,3) en B=(5,2) gaat de rechte \ell. We bepalen een vergelijking voor \ell.

Aangezien de rechte niet parallel aan de y-as loopt, kunnen we voor \ell een vergelijking opstellen van de vorm

y=rx+s.

We bepalen eerst de richtingscoëfficiënt r. Deze is gelijk aan \frac{2-3}{5-4}=-1. De vergelijking si dus van de vorm

3=-1+s,
waaruit je afleidt dat s=4. De lijn \ell wordt dus bepaald door de vergelijking
y=-x+4.

Voorbeeld

Door de twee punten A=(5,1) en B=(2,2) gaat de rechte \ell. We bepalen een vergelijking voor \ell.

De vergelijking van \ell is van de vorm

y=rx+s.

Invullen van de punten A en B levert

1=r5+s
en
2=r2+s.
Trekken we de vergelijkingen van elkaar af, dan vinden we dat -1=3r en r=-1/3. Invullen van r in een van de vergelijkingen levert dan s=1-5r=1+5/3=8/3.

Een vergelijking voor \ell is dus

y=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}x.

Voorbeeld

Gegeven is de lijn \ell met vergelijking

y=2x.

De lijn m door het punt (1,3) parallel aan \ell heeft dezelfde richtingscoëffciënt als \ell. De vegelijking van deze lijn is dan ook

y=2 x+ b
voor zekere b\in R.

Aangezien het punt (1,3) op de lijn ligt, voldoet b aan

1=2\cdot 3+b.
je leidt hieruit af dat b=-5.

De vergelijking van de lijn m is dan

y=2x-5.