TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Machtsfuncties en wortelfuncties

De functie f(x)=x^n voor verschillende waarden van n.
Definitie

Een (reële) functie f met als functievoorschrift

f(x)=x^n
waarbij n\in\mathbb{N}, n>0, noem je een machtsfunctie.

De parameter n noem je de graad van de machtsfunctie.

Stel f(x)=x^n met n\in \mathbb{N}, n>0.

De functie f heeft (voor elke n) precies één nulpunt, nl x=0. Als n even is, dan is f(x)\geq 0 voor alle x\in \mathbb{R}. Als n oneven, dan is f(x)> 0 als x> 0 en f(x)< 0 als x< 0.

Voor n even is de functie f dalend op het interval (-\infty,0) en stijgend op (0,\infty). Voor oneven n is de functie steeds stijgend.

Als n even is, dan geldt voor alle x dat f(-x)=f(x). De grafiek van f is dan symmetrisch t.o.v. de y-as.

Voor oneven n geldt f(-x)=-f(x) en is de grafiek van f puntsymmetrisch t.o.v. de oorsprong.

Definitie

Zij f de functie met als functievoorschrift

f(x)=x^n
waarbij n\in\mathbb{N}, n>1.

Als n even is, dan is er voor elke y\geq 0 een unieke x met y=f(x).

Als n oneven is, dan is er voor elke y\in\mathbb{R} een unieke x met y=f(x).

Deze y geef je aan met y=\sqrt[n]{x}.

De functie g van \mathbb{R}_{\geq 0} (als n even) of \mathbb{R} (als n oneven) naar \mathbb{R} met g(x)=\sqrt[n]{x} noem je de n-de machts wortel.

Merk op, als n even is, dan is de functie f:\mathbb{R}_{\geq 0}\rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0} met f(x)=x^n voor alle x\in \mathbb{R}_{\geq 0} een bijectie met als inverse de functie g:\mathbb{R}_{\geq 0}\rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0} met g(x)=\sqrt[n]{x}.

Als n even is, dan is de functie f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} met f(x)=x^n voor alle x\in \mathbb{R}_{\geq 0} een bijectie. De inverse functie g:\mathbb{R}_{\geq 0}\rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0} heeft dan als voorschrift f(x)=\sqrt[n]{x}.

In plaats van \sqrt[n]{x} gebruiken we ook wel de notatie x^{\frac{1}{n}}. Zie ook de volgende rekenregels:

x^{\frac{1}{n}}\cdot y^{\frac{1}{n}}=(xy)^{\frac{1}{n}}
(x^{\frac{1}{n}})^{\frac{1}{m}}=x^{\frac{1}{nm}}

Combineren we deze regels met de rekenregels voor machtsverheffen, dan vinden we voor alle positieve p,q\in\mathbb{Q}

x^p y^p=(xy)^p
(x^p)^q=x^{pq}

Voorbeeld

De machtsfunctie f van graad 1 met f(x)=x voor alle x, is een lineaire functie. De machtsfunctie g van graad 2, met g(x)=x^2 voor alle x, is een kwadratische functie.

Voorbeeld

Vereenvoudig

\frac{\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{20}}{\sqrt{5}}.

Er geldt

\frac{\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{20}}{\sqrt{5}}=
\frac{\sqrt[3]{2\cdot 20}}{\sqrt{5}}=
\frac{\sqrt[3]{8\cdot 5}}{\sqrt{5}}=
\frac{\sqrt[3]{8}\sqrt[3]{5}}{\sqrt{5}}=
\frac{2\sqrt[3]{5}}{\sqrt{5}}=
2\cdot 5^{1/3}\cdot 5^{-1/2}=
2\cdot 5^{-1/6}=
\frac{2}{\sqrt[6]{5}}.

Voorbeeld

Bepaal alle x met \sqrt{x+1}\leq x-1.

Allereerst merken we op, dat x+1\geq 0, anders is de wortel niet gedefinieerd.

Kwadrateren van de ongelijkheid levert

x+1\leq (x-1)^2,
oftewel
x+1\leq x^2-2x+1.
Breng nu alles naar de rechterkant, dan vind je
0\leq x^2-3x=x(x-3).
Hieruit volgt dat x\leq 0 of x\geq 3. Combineer je dit met x+1\geq 0, dan vind je dus dat -1\leq x\leq 0 of x\geq 3.