TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Rationale functies

Definitie

Een (reële) rationale functie is een functie f met als functievoorschrift

f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}
waarbij zowel g als h veeltermfuncties zijn en de graad van h tenminste 1 is.

Het domein van de rationale f met f(x)=\frac{g(x)}{h(x)} bestaat uit alle a\in\mathbb{R} met h(a)\neq 0.

Pas de coëfficiënten a,b,c van de rationale functie f(x)=\frac{x-a{(x-b)\cdot(x-c)} aan, en zie wat er in de buurt van x=b of x=c gebeurt.}

Stel g,h zijn twee polynoomfuncties van de graad n en m respectievelijk, en f=\frac{g}{h}.

De nulpunten van h behoren niet tot het domein van f, maar toch wil e graag weten hoe de functie f zich in de buurt van deze punten gedraagt.

Zij r een nulpunt van h, dan kun je volgende gevallen onderscheiden.

Wat gebeurt als x de waarde \pm \infty nadert?

Stel

f(x)=\frac{a_nx^n+\cdots a_1x+a_0}{b_mx^m+\cdots+b_1x+b_0}.
Deel boven en beneden de streep door x^m. Dan vind je
f(x)=\frac{a_nx^{n-m}+\cdots+\frac{a_0}{x^m}}{b_m+\frac{b_{m-1}}{x}+\cdots+\frac{b_0}{x^m}}.
Nu kun je drie gevallen onderscheiden.

Voorbeeld

Het standaard voorbeeld van een rationale functie is de functie f met f(x)=\frac{1}{x}. Het domein van deze functie f is \mathbb{R}\setminus\{0\}. De grafiek van f is een hyperbool met twee bladen.

Voorbeeld

Een lineaire rationale functie is een functie f met functievoorschrift

f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},
waarbij a,b,c,d reële getallen met a en c ongelijk 0.

Zo'n lineaire rationale functie is overal gedefinieerd, behalve in het punt x=\frac{-d}{c}, immers daar is de noemer 0.

Herschrijf je de het functievoorschrift als volgt,

f(x)= \frac{ax+b}{cx+d}=\frac{\frac{a}{c}(cx+d)-\frac{ad}{c}+b}{cx+d},
dan zie je dat zolang x\neq \frac{-d}{c}, de functie f ook beschreven wordt door
f(x)=\frac{a}{c}-\frac{\frac{ad}{c}+b}{cx+d}.

Als x naar \pm \infty gaat, dan nadert f(x) de waarde \frac{a}{c}. Dus behalve een verticale asymptoot bij x=\frac{-d}{c}, heeft de functie een horizonale asymptoot y=\frac{a}{c}.

Voorbeeld

Zij f de functie met voorschrift

f(x)=\frac{x^2+x+3}{x^2-3x+2}
voor alle x\neq 1,2.

Als x de waarde \pm \infty nadert, dan zal de functiewaarde naderen tot 1. De functie heeft een horizontale asymptoot, de lijn y=1.

Bij de twee nulpunten x=1 en x=2 van de noemer x^2-3x+2=(x-1)(x-2), vind je twee verticale asymptoten.