TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Veeltermfuncties

Definitie

Een (reële) veeltermfunctie of polynoomfunctie is een functie f met als functievoorschrift

f(x)=a_nx^n+\cdots +a_1x+a_0,
waarbij n\in\mathbb{N} en a_i\in\mathbb{R}.

Als a_n\neq 0, dan is n de graad van f.

De a_i-tjes noemen we de coëfficiënten van f; de x^i de monomen en de a_i\cdot x^i de termen.

Lineaire en kwadratische functies zijn voorbeelden van veeltermfunties.

Pas de coëfficiënten a,b,c,d,e van de veeltermfunctie f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e aan zodat je nul, één twee, drie of vier nulpunten vindt.
Nulpunten

Als f een veeltermfunctie van graad n is, en g(x)=ax+b een lineaire functie, dan kun je f(x) schrijven als

f(x) = g(x)\cdot h(x)+c
waarbij h een veeltermfunctie van graad n-1 is. (Je kunt h(x) bepalen via een staartdeling.)

Als r een nulpunt van f is, dan neem voor g de functie g(x)=x-r. Delen van f door g(x)=x-r levert

f(x)=(x-r)\cdot h(x)+c,
voor zekere c. Invullen van r leert je dan dat
0=(r-r)+c=c.

Met andere woorden, als r een nulpunt van f is, dan is f deelbaar door x-r.

Dit houdt in dat de veeltermfunctie f ten hoogste n verschillende nulpunten heeft. Immers, je kunt de graad van f hooguit n keer met 1 verlagen.

Het bereik

Stel f is een veeltermfunctie van graad n. Als n oneven is, dan is de functie surjectief. Voor even n is dit nooit het geval. Afhankelijk van het teken van de coëfficiënt voor x^n, zal de functie een minimum (coëfficiënt positief) of een maximum (coëfficiënt negatief) hebben.

Voorbeeld

Zij f de veeltermfunctie gegeven door

f(x)=x^3-2x^2-x+2.
Dan is x=2 een nulpunt van f. Inderdaad,
f(2)=2^3-2\cdot 2^2-2+2=8-8-2+2=0.

Staartdelen door x-2 levert:

x-2/x^3-2x^2-x+2\setminus \ x^2-1
\phantom{x-2/}\underline{x^3-2x}
\phantom{x-2/\underline{x^3-2x}}0 -x+2
\phantom{x-2/\underline{x^3-2x-}} \underline{-x+2}
\phantom{x-2/\underline{x^3-2x0} \underline-x+2}0

Je kunt f(x) dus schrijven als

f(x)=(x-2)(x^2-1)=(x-2)(x-1)(x+1).

Behalve x=2, vind je dus ook x=1 en x=-1 als nulpunt.

Voorbeeld

Een kwadratische functie f is een veeltermfunctie van de graad 2. Als f(x)=ax^2+bx+c, dan zijn de nulpunten van f te vinden met behulp van de abc-formule. Je ziet dat f ten hoogste twee nulpunten heeft. Als b^2-4ac> 0, dan zijn deze nulpunten r_1=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} en r_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} en kunnen we f(x) schrijven als

f(x)=a(x-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a})(x-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}) .