TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Delen met rest

Delen is een speciale bewerking, waarvan het resultaat afhangt van de context. Als je breuken toestaat kun je altijd delen, behalve door 0. Maar als je alleen gehele getallen toestaat, kan het gebeuren dat een deling niet opgaan. Als je 20 deelt door 5 dan is het resultaat 4, maar je kunt 22 niet door 5 delen. Voor dit soort gevallen is de 'gehele deling' uitgevonden.

Definitie

Stel a is een geheel getal en b is een positief getal. De gehele deling van a en b noteren we als a\,\colon b. Het resultaat van a\,\colon b is het grootste getal q waarvoor geldt dat bq\leq a. Het getal q heet het quotient van de deling a\,\colon b. De rest van de deling a\,\colon b is a-bq.

Omdat q het grootste getal is met de eigenschap bq\leq a, kan niet gelden dat b(q+1)\leq a. Met andere woorden: b(q+1)>a. Hieruit leiden af:

\begin{array}{c} bq\leq a< b(q+1), \\ bq\leq a< bq+b, \\ 0\leq a-bq< b.\\ \end{array}
De rest r van de deling a\,\colon b is a-bq, en dus geldt 0\leq r< b.

Een alternatieve manier om tegen geheel delen aan te kijken ligt besloten in de volgende stelling:

Stelling

Stel a is een geheel getal en b is een positief getal. Dan is er precies één geheel getal q en één geheel getal r zodat

a=bq+r
en
0\leq r

Dat dit equivalent is met geheel delen bewijzen we hier niet.

Op de basisschool heb je geleerd hoe je een staartdelingen moet maken. Een staartdeling is niets anders dan een handige manier om de een gehele deling snel uit te voeren. Een andere eigenschap van de staartdeling is dat je zowel het quotient als de rest in één keer berekent.

Voorbeeld

Stel je wilt 94978\,\colon23 bepalen. Met een staartdeling gaat dit als volgt:

\begin{array}{rcl} 23\;/\;94978 & \!\!\!\!\backslash\;4129 \\ \underline{92\phantom{222}} & \\ 29\phantom{23} & \\ \underline{23\phantom{21}}& \\ 67\phantom{2} & \\ \underline{46\phantom{2}} & \\ 218 & \\ \underline{207} & \\ 11 & \end{array}
Het resultaat is: 94978\,\colon23=4129. De rest staat helemaal onderaan: 11.

Nu controleren we of het klopt, de zogenaamde `proef op de som':

\begin{array}{rc} 4129 & \\ \underline{\phantom{12}23} & \times \\ 12387 & \\ \underline{8258 \phantom{1}} & \\ 94967 &\\ \end{array}
\begin{array}{rc} 94967& \\ \underline{\phantom{123}11} &+ \\ 94978 & \\ \end{array}
Met ander woorden: 94978=23\cdot4129+11.

Voorbeeld

\begin{array}{rcl} 17\;/\;5882 & \!\!\!\!\backslash\;346 \\ \underline{51\phantom{11}} & \\ 78\phantom{11} & \\ \underline{68\phantom{11}} & \\ 102 & \\ \underline{102} & \\ 0 & \end{array}
De rest is 0. We zeggen dan dat de deling 5882\,\colon17 opgaat.

Voorbeeld

Het getal a=0 is een apart geval. Voor iedere b>0 geldt 0\,\colon b=0, met rest 0-0\cdot b=0.