TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Delers en priemgetallen

Definitie

Stel a is een geheel getal en b is een positief getal. Als de rest van de deling a\,\colon b gelijk is aan 0 zeggen we: de deling gaat op of : b is een deler van a, of: a is deelbaar door b of ook: a is een veelvoud van b.

Omdat de rest gelijk is aan a-bq betekent dit dat de deling opgaat precies dan als a=bq. Dit levert een andere, meer gangbare definitie van deelbaarheid:

Definitie

Stel a is een geheel getal en b is een positief getal. Het getal b is een deler van a als er een getal q bestaat zodat a=bq. De getallen b en q heten factoren van a. Het product bq heet een ontbinding (in factoren) van a.

Voorbeeld

84=12\times7, dus 7 en 12 zijn delers van 84. Dit zijn overigens niet de enige delers van 84.

7=1\times7, dus 1 en 7 zijn delers van 84. Het getal 7 heeft geen andere delers.

Het product 12\times7 is een ontbinding in factoren van 84. Een andere ontbinding is 1\times84.

Voorbeeld

Voor ieder geheel getal a geldt dat 1 een deler is a, immers a=a\cdot1. Hieruit volgt trouwens meteen dat a een deler is van a.

Met het getal 7 is iets bijzonders aan de hand. Zoals we zagen heeft 7 maar één mogelijke ontbinding in factoren: 1\times7, oftewel: de enige delers van 7 zijn 1 en~7. Er zijn nog meer getallen die geen andere delers hebben dan 1 en zichzelf, bijvoorbeeld 1, 11 en 41. Met uitzondering van het getal 1 noemen we dergelijke getallen priemgetallen.

Definitie

Een positief getal p heet een priemgetal als het ongelijk 1 is, en als het alleen de delers 1 en p heeft.

Let er dus op dat 1 geen priemgetal is. Dit is een kwestie van afspraak, maar er is wel een goede reden voor. We komen hier nog op terug.

Er zijn oneindig veel priemgetallen. Dit zijn alle priemgetallen onder de 100:

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97.
Dit is het miljoenste priemgetal: 15485863.

Voorbeeld

84=12\times7 is een ontbinding in factoren van 84. De factor 7 is een priemgetal, maar de factor 12 niet. Deze kun je bijvoorbeeld als volgt ontbinden: 12=3\times4. Zodoende krijg je 84=3\times4\times7. Ook dit noemen we een ontbinding van 84. Nog steeds zit er een factor in die geen priemgetal is, namelijk 4. Pas als we deze factor ontbinden kun je niet meer verder: 84=3\times2\times2\times7. Alle factoren zijn nu priemgetallen. Dit noemen we een ontbinding in priemfactoren.

Ontbindingen in priemfactoren hebben een speciale eigenschap. Ze zijn (op de volgorde van de factoren na) uniek. Omdat de volgorde er niet toe doet, beginnen we met de kleinste priemfactoren, bijvoorbeeld: 84=2\times2\times3\times7. Bovendien schrijven we de producten van identieke priemfactoren als machten: 84=2^2\times3\times7 of 84=2^2\cdot3\cdot7.

Een methode om priemfactorontbindingen van een getal a> 1 is het maken van een ladderdiagram:

De priemfactoren zijn de getallen rechts van de streepjes, en het onderste getal (5). De priemfactorontbinding is het product van deze getallen.

Voorbeeld

Het ladderdiagram bij de ontbinding van 360 ziet er als volgt uit:

\begin{array}{rl} 360 & \\ ---- & 2 \\ 180 & \\ ---- & 2 \\ 90 & \\ ---- & 2 \\ 45 & \\ ---- & 3 \\ 15 & \\ ---- & 3 \\ 5 & \\ \end{array}

De ontbinding in priemfactoren van 360 is 2^3\cdot3^2\cdot5.

Voorbeeld

Als 1 een priemgetal zou zijn, dan zouden 2\times3 en 1\times2\times3 twee verschillende priemfactorontbindingen van het getal 6 zijn. Er zou geen sprake meer zijn van unieke priemfactorontbinding.

Voorbeeld

Het getal 1 heeft geen priemdelers, dus ook geen ontbinding in priemfactoren. Toch spreken we voor de volledigheid af dat 1 een priemfactorontbinding heeft. Deze is dan per definitie gelijk aan 1.