TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

De grootste gemene deler en het kleinste gemene veelvoud

Definitie

De grootste gemene deler van twee getallen a en b is het grootste gehele getal dat zowel a als b deelt. Je noteert de grootste gemene deler als {\rm ggd}(a,b).

Het woord `gemeen' moet je in dit verband opvatten als `gemeenschappelijk'. Het getal 6 is bijvoorbeeld een `gemene deler' van 60 en 72. Maar het is niet de grootste. Dat is 12. Dus: {\rm ggd}(60,72)=12.

De eenvoudigste manier om de grootste gemene deler van twee getallen te bepalen is het uitschrijven van alle delers:

Hoewel deze methode een helder inzicht geeft in het begrip `grootste gemene deler', is ze omslachtig, vooral bij grote getallen.

Een andere methode om de grootste gemene deler te bepalen maakt gebruik van de priemfactorontbinding. Dit gaat als volgt:

Definitie

Het kleinste gemene veelvoud van twee getallen a en b is het kleinste gehele getal dat een veelvoud is van zowel a als b. Je noteert het kleinste gemene veelvoud als {\rm kgv}(a,b).

Ook het kleinste gemene veelvoud kun je vinden met behulp van de priemfactorontbinding.

Als je de grootste gemene deler van a en b hebt bepaald kun de het kleinste gemene veelvoud ook berekenen met de volgende stelling:

Stelling

Voor alle positieve gehele getallen a en b geldt dat a\cdot b={\rm ggd}(a,b)\cdot{\rm kgv}(a,b).

Voorbeeld

{\rm kgv}(60,72)=\frac{60\cdot72}{{\rm ggd}(60,72)}=\frac{60\cdot72}{12}=360.

Er is nog een methode om de grootste gemene deler van twee getallen te bepalen. Deze methode staat bekend onder de naam Algoritme van Euclides. Die behandelen we hier niet.