TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Rationale getallen

Definitie

Een rationaal getal is een getal dat te schrijven is als een breuk van twee gehele getallen. Een breuk noteer je als \displaystyle\frac{a}{b}. De streep heet een breukstreep. Het getal a heet de teller van de breuk, en het getal b de noemer.

De verzameling van alle rationale getallen noteer je als \mathbb{Q}.

Soms schrijven we een breuk met een schuine breukstreep, dus a/b in plaats van \displaystyle\frac{a}{b}.

Om een idee te krijgen van wat een breuk nu precies is kun je uitgaan van eenvoudige breuken van de vorm 1/n met n een positief geheel getal. Zoals een getal een hoeveelheid van iets telt, zo kun je bij 1/n aan het n-de deel van iets denken. Bijvoorbeeld: bij het getal 2 kun je aan ``twee appels'' denken. Dan komt 1/2 overeen met ``een halve appel''. Een breuk m/n komt dan overeen met m keer 1/n delen, bijvoorbeeld 3/2 komt overeen met ``drie halve appels''.

Een rationaal getal is een getal dat je kunt schrijven als breuk, maar deze schrijfwijze ligt niet ondubbelzinnig vast: het getal \displaystyle\frac{6}{14} kun je ook schrijven als \displaystyle\frac{12}{28} of als \displaystyle\frac{-6}{-14}. Dit is het gevolg van de volgende eigenschap:

Stelling

Een rationaal getal verandert niet van waarde als je de teller en noemer door hetzelfde getal (ongelijk 0) deelt of met hetzelfde getal (ongelijk 0) vermenigvudigt.

Je kunt dus ook schrijven

\displaystyle\frac{6}{14}=\displaystyle\frac{3}{7}.
We hebben teller en noemer door 2 gedeeld. Het wegdelen van gemeenschappelijke factoren uit teller en noemer heet vereenvoudigen. We zeggen ook wel dat de factoren 2 tegen elkaar wegvallen. Merk op dat in het laatste geval de teller en noemer geen gemeenschappelijke delers meer hebben. Een dergelijke breuk heet onvereenvoudigbaar. Een breuk wordt onvereenvudigbaar als je teller en noemer deelt door de grootste gemene deler van teller en noemer.

Vereenvoudigen kun je aangeven met een notatie de schrappen of wegstrepen heet. Het komt er op neer dat je teller en noemer ontbindt in factoren, en dat je gelijke factoren in teller en noemer weglaat. Dit weglaten geef je aan met een schuin streepje:

\displaystyle\frac{6}{14}=\displaystyle\frac{3\cdot\not2}{7\cdot\not2}=\displaystyle\frac{3}{7}.

Notatie

Er bestaan een aantal regels met betrekking tot de schrijfwijze van breuken. Deze regels zijn meer richtlijnen dan voorschriften. Het is niet verboden of fout als je je niet aan deze regels houdt.

Een gevolg van deze regels is, dat als de teller deelbaar is door de noemer, dat we de breuk vervangen door het quotiënt.

\frac{15}{3}=\frac{5\cdot\not3}{1\cdot\not3}=\frac{5}{1}=5.
De breuk 15/3 vervangen we dus door het quotiënt 5.

Waarschijnlijk ben je bekend met de schrijfwijze van breuken gebaseerd op het geheel delen van teller en noemer. Bij deze notatie schrijf je de breuk 17/5 als 3\frac{2}{5}. Het getal 3 is het quotiënt van de gehele deling 17\,\colon5, en de teller 2 is de rest van deze deling. De waarde van de breuk is eigenlijk 3+\frac{2}{5}. Omdat we het product van twee getallen x en y vaak schrijven als xy kan deze notatie notatie tot verwarring leiden: je zou kunnen denken dat 3\frac{2}{5} gelijk is aan 3\times\frac{2}{5}. Daarom spreken we af dat we breuken altijd schrijven als een teller gedeeld door een noemer, dus \frac{17}{5}, en nooit als 3\frac{2}{5}.

Voorbeeld

Je zou je kunnen afvragen of er niet-rationale getallen zijn, dus reële getallen die niet als breuk zijn te schrijven. Die zijn er inderdaad. Ze zijn zelfs in de meerderheid. Sterker nog: de kans dat een willekeurig reël getal als breuk te schrijven is, is nihil!

Een voorbeeld van een niet rationaal getal is \sqrt{2}. Dat dit getal niet als breuk te schrijven is, wist Euclides al.

We geven een bewijs:

Stel \sqrt{2}=\frac{p}{q} voor zekere gehele p en q. Als zowel p als q even zijn, dan kun je de gemeenschappelijke factor twee uit p en q wegdelen. Dus, zonder verlies van algemeenheid kun je dus aannemen dat p of q (of beide) oneven is.

Kwadrateer nu beide zijden van de gelijkheid \sqrt{2}=\frac{p}{q}. Je vind dan 2=\frac{p^2}{q^2}, waaruit volgt dat p^2=2q^2. Maar dan moet p dus even zijn, zeg p=2r. Dan geldt (2r)^2=2q^2 en dus q^2=2r^2. Nu moet dus ook q even zijn. Maar dit spreekt de aanname (het bestaan van p en q met \sqrt{2}=\frac{p}{q}) tegen.

Je concludeert dus dat \sqrt{2} inderdaad niet rationaal is.

Voorbeeld

Breuken waarvan de teller en noemer eindigen op nullen kun je heel simpel vereenvoudigen: schrap in teller en noemer evenveel nullen.

\displaystyle\frac{12000}{1100}=\displaystyle\frac{120\cdot\not\!\!\!100}{11\cdot\not\!\!\!100}= \displaystyle\frac{120}{11}.
Je kunt dus in teller en noemer twee nullen schrappen:
\displaystyle\frac{120\!\!\!\not0\!\!\!\not0}{11\!\!\!\not0\!\!\!\not0}=\displaystyle\frac{120}{11}.

Voorbeeld

Mintekens schrijf je bij voorkeur voor de breuk. Dus

\frac{-3}{7}=-\frac{3}{7}
en
\frac{12}{-5}=-\frac{12}{5}.
Als zowel teller als noemer negatief zijn vallen de tekens tegen elkaar weg:
\frac{-18}{-23}=\frac{\not\!\!\!-1\cdot18}{\not\!\!\!-1\cdot23}=\frac{18}{23}.